【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式求出对称轴方程；

　　n(2)在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标.再利用待定系数法求出直线BD的解析式；

　　n(3)根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；

　　n(4)本问为存在型问题.若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解.

　　(1)∵抛物线的图象经过点A(-2，0)，

　　n∴，

　　n解得：，

　　n∴抛物线解析式为.

　　n又∵，

　　n∴对称轴方程为：x=3.

　　n(2)在中，令x=0，得y=4，∴C(0，4).

　　n令y=0，即，整理得，

　　n解得：x=8或x=-2，

　　n∴A(-2，0)，B(8，0).

　　n设直线BC的解析式为y=kx+b，

　　n把B(8，0)，C(0，4)的坐标分别代入解析式，得：

　　n解得

　　n∴直线BC的解析式为：y=x+4.

　　n(3)可判定△AOC∽△COB成立.

　　n理由如下：在△AOC与△COB中，

　　n∵OA=2，OC=4，OB=8，

　　n∴，

　　n又∵∠AOC=∠BOC=90°，

　　n∴△AOC∽△COB.

　　n(4)∵抛物线的对称轴方程为：x=3，

　　n可设点Q(3，t)，则可求得：

　　nAC=，

　　nAQ=，

　　nCQ=.

　　n①当AQ=CQ时，

　　n有，

　　，

　　n解得t=0，

　　n∴(3，0)；

　　n②当AC=AQ时，

　　n有，

　　，此方程无实数根，

　　n∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；

　　n③当AC=CQ时，

　　n有，

　　n整理得：，

　　n解得：，

　　n∴点Q坐标为：(3，4+)，(3，4-).

　　n综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：(3，0)，(3，4+)，(3，4-).

　　【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点.难点在于第(4)问，符合条件的等腰三角形△ACQ可能有多种情形，需要分类讨论.