已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠AD-查字典问答网

来自盛羽的问题

　　已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，连接DF、BF．（1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；（2）将图1中△ADE绕

　　已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，连接DF、BF．

　　（1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；

　　（2）将图1中△ADE绕A点顺时针旋转45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；

　　（3）将图1中△ADE绕A点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．

1回答

2020-10-19 00:56

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杜纲

　　（1）DF=BF且DF⊥BF．（1分）

　　证明：如图1：

　　∵∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，

　　∴∠CDE=90°，∠AED=∠ACB=45°，

　　∵F为CE的中点，

　　∴DF=EF=CF=BF，

　　∴DF=BF；（2分）

　　∴∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，

　　∴∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，

　　即：∠DFB=90°，

　　∴DF⊥BF．（3分）

　　（2）仍然成立．

　　证明：如图2，延长DF交BC于点G，

　　∵∠ABC=∠ADE=90°，

　　∴DE∥BC，

　　∴∠DEF=∠GCF，

　　又∵EF=CF，∠DFE=∠GFC，

　　∴△DEF≌△GCF，

　　∴DE=CG，DF=FG，（4分）

　　∵AD=DE，AB=BC，

　　∴AD=CG，

　　∴BD=BG，（5分）

　　又∵∠ABC=90°，

　　∴DF=BF且DF⊥BF．（6分）

　　（3）仍然成立．证明：如图3，延长BF至点G，使FG=BF，连接DB、DG、GE，

　　在△EFG与△CFB中，

　　∵

　　FG＝BF∠EFG＝∠CFBEF＝CF

2020-10-19 01:00:32