【分析】(1)根据折叠性质可知FG=AF=2，而BF=AB-AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，则G点坐标可求.

　　n(2)由题意，先求出∠AFE=60°，再由三角函数关系求出AE的长，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，可利用待定系数法求出直线EF的解析式；

　　n(3)分FG为平行四边形的一边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四边形的形状.

　　(1)由已知得，FG=AF=2，FB=AB-AF=1，BC=4.

　　n∵四边形ABCD为矩形，

　　n∴∠B=90°，

　　n∴，

　　n∴CG=BC-BG=，

　　n∴G点的坐标为(3，)；

　　n(2)在Rt△BFG中，，

　　n∴∠BFG=60°，

　　n∴∠AFE=∠EFG=60°.

　　n在Rt△AEF中，AE=AFtan∠AFE=2tan60°=，

　　n∴OE=AO-AE=，

　　n∴E点的坐标为(0，.

　　n又F点的坐标是(2，4)，

　　n设直线EF的解析式是y=kx+b，将E、F点的坐标代入，得

　　，

　　n解得.

　　n∴直线EF的解析式为；

　　n(3)分FG为平行四边形的边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四边形的形状：

　　n若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：

　　n①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示.

　　n过点作⊥x轴于点H，易证△≌△GBF，

　　n∴，即.

　　n由直线EF解析式，求出.

　　n∴.

　　n②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示.

　　n仿照与①相同的办法，可求得.

　　n③FG为平行四边形的对角线，如图3所示.

　　n过作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△≌△，

　　n则有=GC=，所以的纵坐标为8-.

　　n代入直线EF解析式，得到的横坐标为.

　　n∴.

　　n综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为：、或.

　　【点评】(1)求点的坐标，可分别求出该点的横坐标和纵坐标；(2)求直线的函数解析式，可先得出该直线上任意两点的坐标再用待定系数法求解；(3)以四点为顶点的平行四边形可有多种不同的组合，注意分类讨论，不要漏解.