【分析】(1)由抛物线的图象，可知抛物线的顶点在y轴上，且抛物线关于y轴对称，当x=0时，y=1，则抛物线的顶点可知；

　　n(2)根据题意，由PB⊥x轴，则∠OBP=90°，由△PAB是等边三角形，得∠ABP=60°，AB=PB，则∠ABO=90°-60°=30°，则在Rt△AOB，AB可求，则PB的值可知，即可知点P的纵坐标，由抛物线的解析式，可知点P的横坐标可求；或在Rt△AOB中，由勾股定理，求得OB的长，则点P的坐标可知，同时由抛物线的对称性，点P关于y轴对称的点也满足题意.

　　n(3)根据题意，由菱形的性质，可知菱形OAMN的边长为2，由下图，可知点N存在，由(2)可知∠OAM=120°，则∠AON=60°，则∠NOE=30°，在Rt△OEN中，，由勾股定理，得OE=，则点N的坐标为，同理可求得点N′的坐标为；由抛物线的对称性，当点P在抛物线的左边时，可知与关于y对称的点也满足点N的要求，与点关于y轴对称的点也满足点N的要求.

　　(1)抛物线的顶点坐标是(0，1)，对称轴是y轴(或x=0).

　　n(2)∵PB⊥x轴，

　　n∴∠OBP=90°；

　　n∵△PAB是等边三角形，

　　n∴∠ABP=60°，AB=PB，

　　n∴∠ABO=90°-60°=30°.

　　n又∵∠AOB=90°，

　　n∴AB=2OA=4.

　　n∴PB=4.

　　n解法一：将y=4，代入，得

　　，

　　n解得.

　　n故点P的坐标为或.

　　n解法二：在Rt△AOB中，由勾股定理，得.

　　n则点P的坐标为.

　　n根据抛物线的对称性，可知点也满足△PAB是等边三角形.

　　n故点P的坐标为或.

　　n(3)存在点N，使四边形OAMN为菱形，点N的坐标为、、或.

　　【点评】本题是一个多边形与函数的综合题，目的是考察学生分析问题、解决问题的能力，包括应用意识、推理能力等，同时考查了学生对方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及转化思想的运用.