【分析】(1)根据衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，故可设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点，则衍生抛物线的解析式易得，直线MN的解析式易得；

　　n(2)已知衍生抛物线和衍生直线，求原抛物线思路正好与(1)相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的顶点，则可推得原抛物线顶点式，再代入所经过点的坐标，即得解析式；

　　n(3)由N(0，-3)，衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行，得到y=-3，再向上平移1个单位即得直线y=-2，所以可设P点为(x，-2).在坐标系中，使得△POM为直角三角形，一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点所连线段为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值，进而可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标.

　　(1)∵抛物线过(0，-3)，

　　n∴设其衍生抛物线为.

　　n∵，

　　n∴衍生抛物线为过抛物线的顶点(1，-4)，

　　n∴-4=a·1-3，

　　n解得a=-1，

　　n∴衍生抛物线为.

　　n设衍生直线为y=kx+b.

　　n∵y=kx+b过(0，-3)，(1，-4)，

　　n∴

　　n∴

　　n∴衍生直线为y=-x-3.

　　n(2)∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，

　　n∴将和y=-2x+1联立，得

　　n解得或

　　n∵衍生抛物线的顶点为(0，1)，

　　n∴原抛物线的顶点为(1，-1).

　　n设原抛物线为，

　　n∵过(0，1)，

　　n∴，

　　n解得a=2，

　　n∴原抛物线为.

　　n(3)∵N(0，-3)，

　　n∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=-3，

　　n∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=-2.

　　n设点P坐标为(x，-2)，

　　n∵O(0，0)，M(1，-4)，

　　n∴，

　　，

　　.

　　n如图，

　　n①当∠OPM=90°时，

　　n则，即，

　　n解得或，即P(，-2)或P(，-2).

　　n②当∠OMP=90°时，

　　n则，即，

　　n解得x=9，即P(9，-2).

　　n③当∠MOP=90°时，

　　n则，则，

　　n解得x=-8，即P(-8，-2).

　　n综上所述，当P为(，-2)或(，-2)或(9，-2)或(-8，-2)时，△POM为直角三角形.

　　【点评】本题考查了一次函数、二次函数的图象及性质，勾股定理以及利用该定理表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是“利用其表示坐标系中两点距离”是近几年考试的热点，学生需熟练运用.