【分析】(1)由函数f(x)=mx+3，g(x)=x2+2x+m，我们易给出函数f(x)-g(x)的零点，判断对应方程的Δ与0的关系，易得结论．

　　n(2)由函数f(x)=mx+3，g(x)=x2+2x+m，我们易给出函数G(x)=f(x)-g(x)-1，①若|G(x)|在[-1，0]上是减函数，根据对折变换函数图象的特征，我们分△≤0和△>0两种情况进行讨论，可得到满足条件的m的取值范围；②若a≤G(x)≤b的解集恰好是[a，b]，则将a，b代入消去m，可以求出a，b的值．

　　证明：(1)f(x)-g(x)=-x2+(m-2)x+3-m．

　　n令f(x)-g(x)=0．

　　n则Δ=(m-2)2-4(m-3)=m2-8m+16=(m-4)2≥0恒成立．

　　n所以方程f(x)-g(x)=0有解．

　　n所以函数f(x)-g(x)必有零点．

　　n(2)①G(x)=f(x)-g(x)-1=-x2+(m-2)x+2-m．

　　n①令G(x)=0，△=(m-2)2-4(m-2)=(m-2)(m-6)．

　　n当△≤0，即2≤m≤6时，G(x)=-x2+(m-2)x+2-m≥0恒成立，

　　n所以|G(x)|=-x2+(m-2)x-2+m．

　　n因为|G(x)|在[-1，0]上是减函数，所以≥0．解得m≥2．

　　n所以2≤m≤6．

　　n当△>0，即m＜2或m>6时，|G(x)|=|x2-(m-2)x+m-2|．

　　n因为|G(x)|在[-1，0]上是减函数，

　　n所以方程x2-(m-2)x+m-2=0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零

　　n且x=．

　　n所以或

　　n解得m>2或m≤0．

　　n所以m≤0或m>6．

　　n综上可得，实数m的取值范围为(-∞，0]∪[2，+∞)．

　　n②因为a≤G(x)≤b的解集恰好是[a，b]，

　　n所以.

　　n即，

　　n消去m，得ab-2a-b=0，显然b≠2．

　　n所以a==1+．

　　n因为a，b均为整数，

　　n所以b-2=±1或b-2=±2．

　　n解得或或或，

　　n因为a<b，且，

　　n所以或.

　　【点评】本题考查的知识点是函数的零点，函数的单调性，函数的值域，(1)中解答的关键是“三个二次”之间的辩证关系，即函数有零点，则对应的方程有根；(2)中①的切入点是函数图象对折变换后的函数图象特征；②中消参思想是解答的关键．