如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD-查字典问答网
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  如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,PO⊥AD,O为BC的中点.(Ⅰ)求证:PO⊥底面ABCD;(Ⅱ)求二面角P-AD-B的大小.(Ⅲ)求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小.

  如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,PO⊥AD,O为BC的中点.

  (Ⅰ)求证:PO⊥底面ABCD;

  (Ⅱ)求二面角P-AD-B的大小.

  (Ⅲ)求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小.

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1回答
2019-06-26 14:10
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汤凯

  【分析】法一:(Ⅰ)要证PO⊥底面ABCD,只需证明直线PO垂直底面ABCD内的两条相交直线BC、AD即可;

  n(Ⅱ)过点O作OE⊥AD于点E,连接PE,说明∴∠PEO为二面角P-AD-B的平面角,

  n解三角形求二面角P-AD-B的大小.

  n(Ⅲ)取PA、PB的中点M、N,连接BM、CN、DM、MN,

  n说明直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM,然后求解即可得到

  n直线PB与平面PAD所成的线面角的大小.

  n法二:以BC中点O为原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,

  n建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

  n(Ⅱ)求出平面PAD的法向量,平面ABCD的法向量为

  n然后利用向量的数量积求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小.

  n(Ⅲ)求出相关向量,通过求得

  n直线PB与平面PAD所成的线面角的大小.

  解法一:(Ⅰ)证明:∵PB=PC=BC,O为BC中点

  n∴PO⊥BC

  n又∵PO⊥AD

  n而ABCD是直角梯形,从而BC与AD相交

  n∴PO⊥底面ABCD

  n(Ⅱ)∵PO⊥底面ABCD,过点O作OE⊥AD于点E,连接PE,由三垂线定理知PE⊥AD

  n∴∠PEO为二面角P-AD-B的平面角

  n∵AB=BC=PB=PC=2CD=2,O为BC中点

  n∴,,

  n由等面积法知

  n∴

  n∴∠PEO=,即二面角P-AD-B的大小为(或或)

  n(Ⅲ)取PA、PB的中点M、N,连接BM、CN、DM、MN,

  n∵PC=BC,

  n∴CN⊥PB①

  n∵AB⊥BC,且PO⊥AB

  n∴AB⊥平面PBC

  n∵CN⊂平面PBC

  n∴CN⊥AB②

  n由①、②知CN⊥平面PAB

  n由MN∥AB∥CD,MN=AB=CD,得四边形MNCD为平行四边形

  n∴CN∥DM

  n∴DM⊥平面PAB

  n∵BMÌ平面PAD

  n∴DM⊥BM

  n∵PB=AB=2

  n∴BM⊥PA

  n∴BM⊥平面PAD,直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM

  n在等腰直角三角形PAB中,易知∠BPM=45°

  n解法二:(Ⅰ)同解法一;

  n如图,以BC中点O为原点,以BC所在直线为x轴,

  n过点O与AB平行的直线为y轴,

  n建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

  n(Ⅱ)∵BC=PB=PC=2且PO⊥底面ABCD

  n∴平面ABCD的法向量为

  n∵A(1,2,0),D(-1,1,0),

  n∴,

  n设平面PAD的法向量为,

  n由得到,

  n令x1=1,则y1=-2,,即

  n∴cos,=

  n∴二面角P-AD-B的大小为(或或)

  n(Ⅲ)∵B(1,0,0)

  n∴

  n由(Ⅱ)知平面PAD的法向量为

  n则,即

  n所以直线PB与平面PAD所成的线面角为90°-45°=45°

  【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,二面角的求法,直线与平面所成的角,考查空间想象能力,逻辑思维能力,转化思想,是中档题.

2019-06-26 14:13:15

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