【分析】法一:(Ⅰ)要证PO⊥底面ABCD,只需证明直线PO垂直底面ABCD内的两条相交直线BC、AD即可;
n(Ⅱ)过点O作OE⊥AD于点E,连接PE,说明∴∠PEO为二面角P-AD-B的平面角,
n解三角形求二面角P-AD-B的大小.
n(Ⅲ)取PA、PB的中点M、N,连接BM、CN、DM、MN,
n说明直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM,然后求解即可得到
n直线PB与平面PAD所成的线面角的大小.
n法二:以BC中点O为原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,
n建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
n(Ⅱ)求出平面PAD的法向量,平面ABCD的法向量为
n然后利用向量的数量积求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小.
n(Ⅲ)求出相关向量,通过求得
n直线PB与平面PAD所成的线面角的大小.
解法一:(Ⅰ)证明:∵PB=PC=BC,O为BC中点
n∴PO⊥BC
n又∵PO⊥AD
n而ABCD是直角梯形,从而BC与AD相交
n∴PO⊥底面ABCD
n(Ⅱ)∵PO⊥底面ABCD,过点O作OE⊥AD于点E,连接PE,由三垂线定理知PE⊥AD
n∴∠PEO为二面角P-AD-B的平面角
n∵AB=BC=PB=PC=2CD=2,O为BC中点
n∴,,
n由等面积法知
n∴
n∴∠PEO=,即二面角P-AD-B的大小为(或或)
n(Ⅲ)取PA、PB的中点M、N,连接BM、CN、DM、MN,
n∵PC=BC,
n∴CN⊥PB①
n∵AB⊥BC,且PO⊥AB
n∴AB⊥平面PBC
n∵CN⊂平面PBC
n∴CN⊥AB②
n由①、②知CN⊥平面PAB
n由MN∥AB∥CD,MN=AB=CD,得四边形MNCD为平行四边形
n∴CN∥DM
n∴DM⊥平面PAB
n∵BMÌ平面PAD
n∴DM⊥BM
n∵PB=AB=2
n∴BM⊥PA
n∴BM⊥平面PAD,直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM
n在等腰直角三角形PAB中,易知∠BPM=45°
n解法二:(Ⅰ)同解法一;
n如图,以BC中点O为原点,以BC所在直线为x轴,
n过点O与AB平行的直线为y轴,
n建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
n(Ⅱ)∵BC=PB=PC=2且PO⊥底面ABCD
n∴平面ABCD的法向量为
n∵A(1,2,0),D(-1,1,0),
n∴,
n设平面PAD的法向量为,
n由得到,
n令x1=1,则y1=-2,,即
n∴cos,=
n∴二面角P-AD-B的大小为(或或)
n(Ⅲ)∵B(1,0,0)
n∴
n由(Ⅱ)知平面PAD的法向量为
n则,即
n所以直线PB与平面PAD所成的线面角为90°-45°=45°
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,二面角的求法,直线与平面所成的角,考查空间想象能力,逻辑思维能力,转化思想,是中档题.