定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称
定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．
(1)若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；
(2)写出与椭圆相似且短半轴长为b的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？
(3)如图：直线l与两个“相似椭圆”和(a>b>0，0<λ<1)分别交于点A，B和点C，D，证明：|AC|=|BD|____
【分析】(1)分别求出特征三角形是腰长为a和底边长为2c，从而得到椭圆的相似比；
n(2)设出椭圆Cb的方程，直线lMN的方程，根据两点关于直线对称的性质，求出直线lMN的方程，根据直线lMN与椭圆Cb有两个不同的交点，判别式大于零，求得实数b的取值范围；
n(3)直线l与x轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合；直线l不与x轴垂直时，设出直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程分别求出线段AB与CD的中点，得到中点坐标相同即可说明结论．
(1)椭圆C2与C1相似，
n因为椭圆C2的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，
n而椭圆C1的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，
n因此两个等腰三角形相似，且相似比为2∶1.
n(2)椭圆Cb的方程为：.
n设lMN：y=-x+t，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)，
n则，
n所以5x2-8tx+4(t2-b2)=0，
n则，
n因为中点在直线y=x+1上，
n所以有，，
n即直线lMN的方程为.
n由题意可知，直线lMN与椭圆Cb有两个不同的交点，
n即方程有两个不同的实数解，
n所以，即.
n(3)证明：①直线l与x轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合，
n所以|AC|=|BD|；
n②直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=kx+n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
n线段AB的中点(x0，y0)，
n则由，得，
n解得，
n∴线段AB的中点为，
n同理可得线段CD的中点为，
n即线段AB与CD的中点重合，所以|AC|=|BD|.
【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两点关于直线对称的性质，求直线MN的方程是解决第二问的关键，而第三问的关键在于分析出：线段AB与CD的中点重合⇒|AC|=|BD|．