【在抽象代数中怎样证明这个证明题:一个循环群G=的阶为n,a-查字典问答网

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　　【在抽象代数中怎样证明这个证明题:一个循环群G=的阶为n,a^m也为G的生成元的充分必要条件是:(m,n)=1】

　　在抽象代数中怎样证明这个证明题:一个循环群G=的阶为n,a^m也为G的生成元的充分必要条件是:(m,n)=1

1回答

2020-10-22 04:41

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姬舒平

　　证明：充分性：

　　由数论(m,n)=1的充分必要条件是存在整数s、t使

　　ms+nt=1,所以a=a^(ms+nt)=a^ms*(a^n)^t=a^ms

　　这说明a^m可以生成a,又G=,所以G可以由a^m生成.

　　必要性：因为G=,且a∈G,所以a^m可以生成a,即存在整数s满足a^ms=a,则a^(ms-1)=e,所以ms-1=nt,故ms+n(-t)=1,所以(m,n)=1

　　证毕!

2020-10-22 04:45:36

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