已知直线Ax+By+C=0（其中A*A+B*B=C*C,C≠-查字典问答网

来自蔡伟华的问题

　　已知直线Ax+By+C=0（其中A*A+B*B=C*C,C≠0)与圆x*x+y*y=4交于M,N,O是坐标原点,则OM的向量乘ON的向量等于

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2020-10-23 06:09

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姜素霞

　　L:Ax+By+C=0(1)

　　A^2+B^2=C^2

　　C:x^2+y^2=4(2)

　　letM(x1,y1),N(x2,y2)

　　sub(1)into(2)

　　x^2+[(C-Ax)/B]^2=4

　　(1+(A/B)^2)x^2-(2AC/B)x+(C/B)^2-4=0

　　x1x2=[(C/B)^2-4]/(1+(A/B)^2)

　　=(C^2-4B^2)/(B^2+A^2)

　　=(C^2-4B^2)/(C^2)

　　=1-4(B/C)^2

　　Similary,wehave

　　((C-By)/A)^2+y^2=4

　　(1+(B/A)^2)y^2-(2BC/A)y+(C/A)^2-4=0

　　y1y2=[(C/A)^2-4]/(1+(B/A)^2)

　　=(C^2-4A^2)/(A^2+B^2)

　　=(C^2-4A^2)/(C^2)

　　=1-4(A/C)^2

　　OM.ON

　　=x1x2+y1y2

　　=1-4(B/C)^2+1-4(A/C)^2

　　=2-4(B^2+A^2)/C^2

　　=2-4

　　=-2

2020-10-23 06:10:30