第一题：

　　因为微分dlnx＝（1/x）dx,

　　（这个式子可以理解为：lnx的导数,(dlnx)/(dx)＝1/x,两边同乘以dx.）

　　所以∫√xdlnx＝∫√x×（1/x）dx＝∫（1/√x）dx.

　　第二题：

　　油罐的底面半径是x,则底面积是πx²,所以体积V＝πx²h.

　　设表面积是S,因底面周长C＝2πx,可知侧面积为2πxh,于是S＝2πxh＋2πx²

　　考虑到h＝V/（πx²）,代入则有：

　　S＝2πxV/（πx²）＋2πx²＝2V/x＋2πx²

　　求导：

　　S’＝4πx－2V/x².

　　令导数S’＝0,得到x³＝V/（2π）,于是x＝r,其中r＝三次根号下（V/（2π））

　　在0＜x＜r时,S’＜0；在x＞r时,S’＞0,从而x＝r是S的唯一极小值点.

　　因此所求的底面半径x＝r,

　　此时高h＝V/（πr²）,具体是多少自己算一下吧.

　　第三题：

　　设矩形旋转轴的长为a,另一边的长为b,由题意可知2a＋2b＝120,单位cm就不写了.

　　这样a＝60－b.考虑到a＞0,b＞0,可求得0＜b＜60.

　　因为a为轴,那么这个圆柱体的高就是a,且底面半径是b,其体积为：

　　V＝πb²a＝πb²（60－b）＝60πb²－πb³.

　　求导,有：

　　V’＝120πb－3πb²＝3πb（40－b）.

　　令V’＝0,可得b＝0（不满足b＞0,舍去）以及b＝40.

　　在0＜b＜40时,V’＞0；在40＜b＜60时,V’＜0,从而在b＝40时V有唯一极大值.

　　此时a＝60－b＝20.

　　所以在矩形边长是20cm和40cm时圆柱体体积最大.

　　第四题：

　　设场地的长是p,宽q,由题意可知p＋2q＝48,同上题,单位m不写了.

　　于是p＝48－2q.根据p＞0及q＞0可得0＜q＜24.

　　场地面积为S＝pq＝（48－2q）q＝48q－2q².

　　求导,得S’＝48－4q.

　　令S’＝0,可得q＝12.

　　在0＜q＜12时S’＞0；在12＜q＜24时S’＜0.从而当q＝12时S有唯一极大值.

　　此时p＝48－2q＝24.

　　所以应当选择的长为24m,宽为12m.