第四章x09四边形性质探索

　　一、四边形的相关概念

　　1、四边形

　　在同一平面内,由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.

　　2、四边形具有不稳定性

　　3、四边形的内角和定理及外角和定理

　　四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°.

　　四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°.

　　推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；

　　多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°.

　　6、设多边形的边数为n,则多边形的对角线共有条.从n边形的一个顶点出发能引（n-3）条对角线,将n边形分成（n-2）个三角形.

　　二、平行四边形

　　1、平行四边形的定义

　　两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

　　2、平行四边形的性质

　　（1）平行四边形的对边平行且相等.

　　（2）平行四边形相邻的角互补,对角相等

　　（3）平行四边形的对角线互相平分.

　　（4）平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点.

　　常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积.

　　（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等.

　　3、平行四边形的判定

　　（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

　　（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

　　（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

　　（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

　　（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

　　4、两条平行线的距离

　　两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离.

　　平行线间的距离处处相等.

　　5、平行四边形的面积

　　S平行四边形=底边长×高=ah

　　三、矩形

　　1、矩形的定义

　　有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

　　2、矩形的性质

　　（1）矩形的对边平行且相等

　　（2）矩形的四个角都是直角

　　（3）矩形的对角线相等且互相平分

　　（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条,是对边中点连线所在的直线.

　　3、矩形的判定

　　（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

　　（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

　　（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

　　4、矩形的面积

　　S矩形=长×宽=ab

　　四、菱形

　　1、菱形的定义

　　有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

　　2、菱形的性质

　　（1）菱形的四条边相等,对边平行

　　（2）菱形的相邻的角互补,对角相等

　　（3）菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角

　　（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条,是对角线所在的直线.

　　3、菱形的判定

　　（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

　　（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形

　　（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

　　4、菱形的面积

　　S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

　　五、正方形（3~10分）

　　1、正方形的定义

　　有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

　　2、正方形的性质

　　（1）正方形四条边都相等,对边平行

　　（2）正方形的四个角都是直角

　　（3）正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角

　　（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条,是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线.

　　3、正方形的判定

　　判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种：

　　先证它是矩形,再证它是菱形.

　　先证它是菱形,再证它是矩形.

　　4、正方形的面积

　　设正方形边长为a,对角线长为b

　　S正方形=

　　六、梯形

　　（一）1、梯形的相关概念

　　一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

　　梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底.

　　梯形中不平行的两边叫做梯形的腰.

　　梯形的两底的距离叫做梯形的高.

　　2、梯形的判定

　　（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形.

　　（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形.

　　（二）直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

　　一般地,梯形的分类如下：

　　一般梯形

　　梯形直角梯形

　　特殊梯形

　　等腰梯形

　　（三）等腰梯形

　　1、等腰梯形的定义

　　两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

　　2、等腰梯形的性质

　　（1）等腰梯形的两腰相等,两底平行.

　　（2）等腰梯形同一底上的两个角相等,同一腰上的两个角互补.

　　（3）等腰梯形的对角线相等.

　　（4）等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,即两底的垂直平分线.

　　3、等腰梯形的判定

　　（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形

　　（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

　　（3）对角线相等的梯形是等腰梯形.（选择题和填空题可直接用）

　　（四）梯形的面积

　　（1）如图,

　　（2）梯形中有关图形的面积：

　　①；