函数知识与代数、几何等其它知识联系密切,一些综合题

　　要涉及到代数中的方程,不等式等内容以及几何中有关图形的知

　　识,解决这类问题是本单元的重点和难点,也是近年来各省市

　　中考试题中考查的重点.

　　解决综合问题,首先要有全面、扎实的知识基础,另外要

　　掌握分析问题的方法,认真审题,运用数学思想方法,深入发

　　掘已知与未知及所涉及知识点之间的内在联系.尤其要认真观

　　察图形,探索图形中蕴含的数量关系,实现知识间的相互转化,

　　化繁为简,化难为易.

　　例1.已知：如图(1),矩形EFGH内接于△ABC,两个顶点E、

　　F在BC边上,顶点H、G分别在AB、AC边上.

　　(1)设底边BC=12厘米,高为h厘米,GF为x厘米,GH为y厘米,

　　求y关于x的函数关系式；

　　(2)在(1)的条件下,当高h=8厘米时,要使矩形EFGH的GH边

　　大于4厘米,求GH的取值范围；

　　(3)在(1)、(2)的条件下,要使矩形EFGH的面积为18厘米2,

　　此时矩形EFGH的长和宽各是多少?

　　分析：自变量x表示GF的长,高h要看成是常量.列函数关

　　系式时,可用相似三角形性质解决.

　　(1)作AD⊥BC,D为垂足,与HG交于M.

　　∵GH‖BC,

　　∴△AHG∽△ABC,

　　∴.

　　∵AM=AD-MD=h-GF=h-x,BC=12,

　　AD=h,HG=y,

　　∴y=

　　即y=-x+12(0＜x＜h)；

　　(2)当h=8厘米时,要使y=-x+12＞4,

　　解得x＜,

　　∴GF的取值范围是0＜GF＜(厘米)；

　　(3)S矩形EFGH=GH*GF=x(12-x).

　　当S=18厘米2时,有

　　x(12-x)=18.

　　解得x1=2,x2=6.

　　此时y1=9,y2=3.

　　∴当矩形EFGH的面积为18厘米时,长为9厘米,宽为2厘米

　　或长为6厘米,宽为3厘米.

　　例2.在直角坐标系中,一次函数y=x+的图象与x轴、y

　　轴分别交于A和B两点,点C的坐标为(1,0),点D在x轴上,且

　　∠BCD和∠ABD是两个相等的钝角,求图象经过B、D两点的一次

　　函数的解析式.

　　分析：本题的关键是要求得B、D两点的坐标,因为B、D都是

　　坐标轴上的点,故只需求得OB和OD两线段的长,这就需要结合

　　图形利用勾股定理和相似三角形等几何知识来解决.首先在坐

　　标系中找出A、B、C的位置,然后根据∠BCD与∠ABD是两个相

　　等的钝角,找到点P的大致位置,即要求CD的长,由已知可推

　　出△BCD∽△ABD,故有BD2=CD*(4+CD),又因为BD2=BO2+OD2,

　　而BO和OC已知,就可求出CD的长.

　　如图(2),由已知得点A(-3,0),

　　点B(0,),点C(1,0).

　　∴AC=4.

　　在△BCD和△ABD中,

　　∵∠BCD=∠ABD,

　　∠BDC为公共角,

　　∴△BCD∽△ABD,

　　∴.

　　∴BD2=CD*AD.

　　在Rt△BOD中,BD2=OB2+OD2.

　　∴OB2+OD2=CD*AD.

　　即()2+(1+CD)2=CD(4+CD).

　　解得CD=.

　　∴点D的坐标为(,0).

　　又∵点B坐标为(0,),设经过B、D两点的一次函数的解析

　　式为y=kx+b,

　　∴

　　解得k=-.

　　∴经过B、D两点的一次函数的解析式为y=-x+.

　　说明：准确画图对于题意的理解.思路的探求,方法的选

　　择.结论的判定都有重要作用,同时也体现了一定的教学能力.

　　例3.正比例函数y=kx与直线y=-x-相交于点P(m,n),

　　且关于x的方程x2+mx+n=0的两根为直角三角形两锐角的余弦值,

　　求此正比例函数的解析式.

　　分析：求出m,n的值,确定点P的坐标的是本题的关键.

　　这可以从①m,n作为P点坐标,要满足y=-x-；②m,n应

　　满足方程根与系数的关系,这两个方面入手解决.

　　设直角三角形分别为A,B,

　　根据题意,有

　　∵cosB=sinA,

　　∴sinA+cosA=-m,①sinA*cosA=n.②

　　①2,得

　　sin2A+2sinAcosA+cos2A=m2,

　　∴1+2n=m2,③

　　∵点P(m,n)在直线y=-x-上,

　　∴-m-=n④

　　把④代入③,整理得

　　m2+m-=0

　　解得

　　∵cosA+cosB＞0,

　　∴m＜0,故m2,n2不合题意,应舍去.

　　把m1,n1代入y=kx,得

　　=k*,

　　解得k=.

　　∴所求正比例函数的解析式为y=x.

　　注意：在求m,n的值时,应注意题中的隐含条件,由A、B都

　　是锐角,故cosA+cosB＞0,从而决定m＜0,所以本题只有一解.

　　练习：

　　1.已知一次函数的图象交x轴于A(-6,0),交正比例函数

　　图象于B,且点B在第二象限,它的横坐标为-4,△AOB的面积

　　为15(平方单位),求正比例函数和一次函数的解析式.

　　2.正比例函数与一次函数的图象

　　如图(3),其中交点坐标为A(4,3),

　　B为一次函数与y轴交点,且｜OA｜=2｜OB｜.

　　(1)求正比例函数与一次函数解析式；

　　(2)求△AOB的面积.

　　参考答案：