特殊的函数反函数　一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出,得到x=f(y).若对于y在C中的任何一个值,通过x=f(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=f(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x=f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f^-1(y).反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

　　说明：⑴在函数x=f^-1(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y表示函数,为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f^-1(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.

　　⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义.从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x),那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数.

　　⑶从映射的定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）：

　　函数y=f(x)反函数y=f^-1(x)

　　定义域AC

　　值域CA

　　⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：

　　若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数.反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

　　开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v,同样y=2x+6记为f(x)=2x+6,则它的反函数为：f^-1(x)=x/2-3.

　　有时是反函数需要进行分类讨论,如：f(x)=X+1/X,需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况,X小于0的情况,多是要注意的.一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a

　　反函数的应用：

　　直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域,求反函数的步骤是这样的

　　1.先求出原函数的值域,因为原函数的值域就是反函数的定义域

　　（我们知道函数的三要素是定义域,值域,对应法则,所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步）

　　2.反解x,也就是用y来表示x

　　3.改写,交换位置,也就是把x改成y,把y改成x

　　4.写出反函数及其定义域

　　就关系而言,一般是双向的,函数也如此,设y＝f（x）为已知的函数,若对每个y∈Y,有唯一的x∈X,使f（x）＝y,这是一个由y找x的过程,即x成了y的函数,记为x＝f-1（y）.则f-1为f的反函数.习惯上用x表示自变量,故这个函数仍记为y＝f-1（x）,例如y＝sinx与y＝arcsinx互为反函数.在同一坐标系中,y＝f（x）与y＝f-1（x）的图形关于直线y＝x对称.

　　隐函数若能由方程F（x,y）＝0确定y为x的函数y＝f（x）,即F（x,f（x））≡0,就称y是x的隐函数.

　　注意：此处为方程F（x,y）=0并非函数.

　　思考：隐函数是否为函数?

　　不是,因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”.

　　多元函数设点（x1,x2,…,xn）∈GÍRn,UÍR1,若对每一点（x1,x2,…,xn）∈G,由某规则f有唯一的u∈U与之对应：f：G→U,u＝f（x1,x2,…,xn）,则称f为一个n元函数,G为定义域,U为值域.

　　基本初等函数及其图像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数.

　　①幂函数：y＝xμ（μ≠0,μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞,＋∞）,μ为负整数时是（－∞,0）∪（0,＋∞）；μ＝α(为整数),当α是奇数时为（－∞,＋∞）,当α是偶数时为（0,＋∞）；μ＝p／q,p,q互素,作为的复合函数进行讨论.略图如图2、图3.

　　②指数函数：y＝ax（a＞0,a≠1）,定义成为（－∞,＋∞）,值域为（0,＋∞）,a＞0时是严格单调增加的函数（即当x2＞x1时,）,0＜a＜1时是严格单减函数.对任何a,图像均过点（0,1）,注意y＝ax和y＝（）x的图形关于y轴对称.如图4.

　　③对数函数：y＝logax（a＞0）,称a为底,定义域为（0,＋∞）,值域为（－∞,＋∞）.a＞1时是严格单调增加的,0＜a＜1时是严格单减的.不论a为何值,对数函数的图形均过点（1,0）,对数函数与指数函数互为反函数.如图5.

　　以10为底的对数称为常用对数,简记为lgx.在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数,即自然对数,记作lnx.

　　④三角函数：见表2.

　　正弦函数、余弦函数如图6,图7所示.

　　⑤反三角函数：见表3.双曲正、余弦如图8.

　　⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x）,双曲余弦?（ex＋e-x）,双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x）,双曲余切（ex＋e-x）／（ex－e-x）.