椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离-查字典问答网
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  椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.设直线l与椭圆C交与A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为√3/2,求△AOB面积的最大值.

  椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.

  设直线l与椭圆C交与A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为√3/2,求△AOB面积的最大值.

1回答
2020-10-25 19:31
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刘英

  由于椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1

  则:椭圆的焦点在X轴上

  由于:短轴一个端点到右焦点的距离为√3

  则由图像可知:

  b^2+c^2=3=a^2

  则:a=√3

  又:离心率为√6/3=c/a

  则:c=√2,则:b=1

  则椭圆C:x^2/3+y^2=1

  设直线l:y=kx+b

  由于:坐标原点O到直线l的距离d为√3/2

  则由点到直线距离公式,得:

  d=√3/2=|b|/√[k^2+1]

  则:b^2=(3/4)(k^2+1)

  由于:直线l与椭圆C交与A,B两点

  则设A(x1,y1)B(x2,y2)

  则由直线和椭圆相交弦长公式,得:

  |AB|

  =√[k^2+1]*|x1-x2|

  =√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]

  由于:

  椭圆C:x^2/3+y^2=1

  直线l:y=kx+b

  则联立可得:

  x^2/3+(kx+b)^2=1

  [(1+3k^2)/3]x^2+2kbx+b^2-1=0

  由于:A,B为其交点,

  则x1,x2为方程的两根

  则由韦达定理,得:

  x1+x2=-6kb/(1+3k^2)

  x1x2=(9k^2-3)/(12k^2+4)

  则:

  |AB|=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]

  =√[k^2+1]*√[36k^2b^2/(3k^2+1)^2-(36k^2-12)/(12k^2+4)]

  =√[k^2+1]*√{[27k^2(k^2+1)-3(3k^2-1)(3k^2+1)]/(3k^2+1)^2}

  =√{[k^2+1]*[27k^2+3]/[(3k^2+1)^2]}

  =√{[27k^4+30k^2+3]/[(3k^2+1)^2]}

  =√{[3(3k^2+1)^2+4(3k^2+1)-4]/[(3k^2+1)^2]}

  =√{3+4/(3k^2+1)-4/[(3k^2+1)^2]}

  设:t=1/(3k^2+1)(t属于(0,1])

  则:

  |AB|=√[3+4t-4t^2]

  =√[-4(t-1/2)^2+4]

  则当t=1/2时,|AB|取最大值=2

  此时k=±√3/3

  则:

  △AOB面积的最大值

  =(1/2)|AB|最大值*d

  =(1/2)*2*(√3/2)

  =√3/2

2020-10-25 19:32:21

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