过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点F作斜率为1-查字典问答网

来自宋永华的问题

　　过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点F作斜率为1的直线l,交椭圆于A、B两点,M为线段AB的中点,射线OM交椭圆于点C,若向量OA+向量OB=向量OC（O为原点）求椭圆的离心率.

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2020-10-26 23:17

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倪惠青

　　设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,y0)

　　直线l的方程为y=x-c与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1联立整理得

　　（a^2+b^2）x^2-2a^2cx+a^2*c^2-a^2*b^2=0

　　x1+x2=2a^2c/(a^2+b^2)

　　向量OA+向量OB=向量OC

　　X0=x1+x2,y0=y1+y2=x1-c+x2-c=(x1+x2)-2c=-2b^2c/(a^2+b^2)

　　点C在椭圆上,将点C的坐标代入椭圆方程.

　　整理得到5e^4-12e^2+4=0,e^2=2/5或e^2=2

2020-10-26 23:20:30