定积分求面积问题求椭圆Ax^2+2Bxy+Cy^2=1的面积-查字典问答网

来自蒋贵凰的问题

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　　定积分求面积问题

　　求椭圆Ax^2+2Bxy+Cy^2=1的面积,

　　C>0,AC-B^2>0

　　基础较差,尤其不明白中间的2Bxy是怎么回事,

　　会求x^2/a^2+y^2/b^2=1这种形式的,但这两种有什么联系吗?

2回答

2020-10-29 03:18

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韩泽生

　　可用参数方程：

　　结果是π/√(AC-B^2),但过程可会恶心死你的

　　我就运用Green公式了

2020-10-29 03:19:25

韩泽生

　　只用定积分的话方法比较累赘，而且椭圆的面积是比较不规则的

　　至少要用到二重积分知识才会简单

　　对于标准方程，x²/a²+y²/b²=1

　　y²/b²=1-x²/a²=(a²-x²)/a²

　　y²=b²/a²*(a²-x²)

　　y=(b/a)√(a²-x²)

　　标准方程的好处就是四个象限的面积相同，所以只需要找第一象限的面积

　　A=(1/4)∫(0→a)(b/a)√(a²-x²)dx=πab

　　若是一般方程，也要解出y=ƒ(x)形式才可以用定积分

　　而且四个象限的面积也不一样，积分限很难决定，所以可用广义极坐标代换或者参数代换

　　把方程变为极坐标形式r=r(θ)，然后用∫(α→β)(1/2)[r(θ)]²dθ

2020-10-29 03:21:08