已知A,B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>-查字典问答网

来自陈永生的问题

　　已知A,B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)长轴的两个顶点,M,N是椭圆上关于x轴对称的亮点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,且k1k2≠0.若|k1|+|k2|的最小值为1,则椭圆的离心率为?

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2020-10-31 03:58

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沈学其

　　设M（x0,y0）,N（x0,-y0）,A（-a,0）,B（a,0）

　　k1=y0／﹙x0+a﹚,k2=y0／﹙a-x0﹚

　　|k1|+|k2|=|y0／x0+a|+|y0／a-x0|≥2√|y0／x0+a|×|y0／a-x0|

　　=2√y0^2／a^2-x0^2=1

　　当且仅当y0／x0+a=y0／a-x0,即x0=0,y0=b时等号成立

　　∴2√y0^2／a^2-x0^2=2b／a=1

　　∴a=2b

　　又∵a2=b2+c2∴c=√3／2a

　　∴e=c／a=√3／2

2020-10-31 04:02:40