设奇数为（2n+1）（n≥0，n为整数），则（2n+1）2=4n2+4n+1，

　　只要证得8能整除（4n2+4n）即可，

　　显然4能整除（4n2+4n），而n2与n奇偶性相同，所以2能整除（n2+n），

　　因此8能整除（4n2+4n），所以可以得出（4n2+4n+1）被8除余1，

　　即奇数的平方被8除余1．

　　（2）由（1）可知10个奇数的平方之和被8除余数为2，

　　2006除以8余数为6，两数被8除余数不同，

　　也就证明2006不能表示为10个奇数的平方之和．