直线l过原点,设直线为y=kx,k≠0,M(x1,y1),N(x2,y2)

　　联立y=kx和x²/4+y²=1

　　得x²+4k²x²-4=0,即(1+4k²)x²-4=0

　　由韦达定理x1+x2=0,x1*x2=-4/(1+4k²)

　　|MN|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1-x2)²+(kx1-kx2)²

　　=(1+k²)(x1-x2)²=(1+k)²[(x1+x2)²-4x1x2]

　　=16(1+k²)/(1+4k²)

　　|MN|=4√[(1+k²)/(1+4k²)]

　　点A(1,1/2)到直线l的距离,d=|k-1/2|/√(1+k²)

　　S△MAN=d×|MN|/2=1/2×4|k-1/2|/√(1+4k²)

　　=|2k-1|/√(1+4k²)=√[(4k²+1-4k)/(4k²+1)]

　　=√[1-4k/(4k²+1)]=√[1-4/(4k+1/k)]

　　①若k＞0,0＜4/(4k+1/k)≤1

　　0≤1-4/(4k+1/k)＜1

　　0≤S=√[1-4/(4k+1/k)]＜1,即0≤S＜1

　　当且仅当4k=1/k,k=1/2时,4k+1/k≥2√(4k-1/k)=4,S=0

　　实际上,此时直线ly=x/2,过A(1,1/2)点,与直线OA重合.

　　②当k＜0时,-4k＞0,-1/k＞0

　　S=√[1-4/(4k+1/k)]=√[1+4/(-4k-1/k)]

　　∵4k*1/k=4为定值,∴-4k-1/k≥4

　　0＜4/(-4k-1/k)≤1

　　1＜1+4/(4k+1/k)≤2

　　1＜S=√[1+4/(4k+1/k)]≤√2

　　即1＜S≤√2

　　当且仅当k=-1/2时,Smax=√2.

　　③当k=0时,MN=2a=4,h=yA=1/2,S=1/2×4÷2=1

　　④当k不存在时,MN=2b=2,h=xA=1,S=1/2×2×1=1

　　综上,当k=-1/2时,Smax=√2