【已知椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1,点A(1,1/2),过原点O的直线l与曲线C交于M,N两点,求三角形MAN面积的最大值.】
已知椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1,点A(1,1/2),过原点O的直线l与曲线C交于M,N两点,求三角形MAN面积的最大值.
【已知椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1,点A(1,1/2),过原点O的直线l与曲线C交于M,N两点,求三角形MAN面积的最大值.】
已知椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1,点A(1,1/2),过原点O的直线l与曲线C交于M,N两点,求三角形MAN面积的最大值.
直线l过原点,设直线为y=kx,k≠0,M(x1,y1),N(x2,y2)
联立y=kx和x²/4+y²=1
得x²+4k²x²-4=0,即(1+4k²)x²-4=0
由韦达定理x1+x2=0,x1*x2=-4/(1+4k²)
|MN|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1-x2)²+(kx1-kx2)²
=(1+k²)(x1-x2)²=(1+k)²[(x1+x2)²-4x1x2]
=16(1+k²)/(1+4k²)
|MN|=4√[(1+k²)/(1+4k²)]
点A(1,1/2)到直线l的距离,d=|k-1/2|/√(1+k²)
S△MAN=d×|MN|/2=1/2×4|k-1/2|/√(1+4k²)
=|2k-1|/√(1+4k²)=√[(4k²+1-4k)/(4k²+1)]
=√[1-4k/(4k²+1)]=√[1-4/(4k+1/k)]
①若k>0,0<4/(4k+1/k)≤1
0≤1-4/(4k+1/k)<1
0≤S=√[1-4/(4k+1/k)]<1,即0≤S<1
当且仅当4k=1/k,k=1/2时,4k+1/k≥2√(4k-1/k)=4,S=0
实际上,此时直线ly=x/2,过A(1,1/2)点,与直线OA重合.
②当k<0时,-4k>0,-1/k>0
S=√[1-4/(4k+1/k)]=√[1+4/(-4k-1/k)]
∵4k*1/k=4为定值,∴-4k-1/k≥4
0<4/(-4k-1/k)≤1
1<1+4/(4k+1/k)≤2
1<S=√[1+4/(4k+1/k)]≤√2
即1<S≤√2
当且仅当k=-1/2时,Smax=√2.
③当k=0时,MN=2a=4,h=yA=1/2,S=1/2×4÷2=1
④当k不存在时,MN=2b=2,h=xA=1,S=1/2×2×1=1
综上,当k=-1/2时,Smax=√2