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  【已知椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1,点A(1,1/2),过原点O的直线l与曲线C交于M,N两点,求三角形MAN面积的最大值.】

  已知椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1,点A(1,1/2),过原点O的直线l与曲线C交于M,N两点,求三角形MAN面积的最大值.

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2020-11-01 00:17
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饶晓波

  直线l过原点,设直线为y=kx,k≠0,M(x1,y1),N(x2,y2)

  联立y=kx和x²/4+y²=1

  得x²+4k²x²-4=0,即(1+4k²)x²-4=0

  由韦达定理x1+x2=0,x1*x2=-4/(1+4k²)

  |MN|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1-x2)²+(kx1-kx2)²

  =(1+k²)(x1-x2)²=(1+k)²[(x1+x2)²-4x1x2]

  =16(1+k²)/(1+4k²)

  |MN|=4√[(1+k²)/(1+4k²)]

  点A(1,1/2)到直线l的距离,d=|k-1/2|/√(1+k²)

  S△MAN=d×|MN|/2=1/2×4|k-1/2|/√(1+4k²)

  =|2k-1|/√(1+4k²)=√[(4k²+1-4k)/(4k²+1)]

  =√[1-4k/(4k²+1)]=√[1-4/(4k+1/k)]

  ①若k>0,0<4/(4k+1/k)≤1

  0≤1-4/(4k+1/k)<1

  0≤S=√[1-4/(4k+1/k)]<1,即0≤S<1

  当且仅当4k=1/k,k=1/2时,4k+1/k≥2√(4k-1/k)=4,S=0

  实际上,此时直线ly=x/2,过A(1,1/2)点,与直线OA重合.

  ②当k<0时,-4k>0,-1/k>0

  S=√[1-4/(4k+1/k)]=√[1+4/(-4k-1/k)]

  ∵4k*1/k=4为定值,∴-4k-1/k≥4

  0<4/(-4k-1/k)≤1

  1<1+4/(4k+1/k)≤2

  1<S=√[1+4/(4k+1/k)]≤√2

  即1<S≤√2

  当且仅当k=-1/2时,Smax=√2.

  ③当k=0时,MN=2a=4,h=yA=1/2,S=1/2×4÷2=1

  ④当k不存在时,MN=2b=2,h=xA=1,S=1/2×2×1=1

  综上,当k=-1/2时,Smax=√2

2020-11-01 00:21:31

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