来自刘皓明的问题
【设函数F(X)在开区间(0,2a)上连续,且f(0)=f(2a),证明在零到A上至少存在一点X,使f(x)=f(a+x)】
设函数F(X)在开区间(0,2a)上连续,且f(0)=f(2a),证明在零到A上至少存在一点X,使f(x)=f(a+x)
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2020-11-02 17:53
【设函数F(X)在开区间(0,2a)上连续,且f(0)=f(2a),证明在零到A上至少存在一点X,使f(x)=f(a+x)】
设函数F(X)在开区间(0,2a)上连续,且f(0)=f(2a),证明在零到A上至少存在一点X,使f(x)=f(a+x)
这道题是错的.给你举一个例子:
x+1x∈(0,2a)
分段函数f(x)=
0,x=0x=2a
这个函数符合题目的条件,但是你画出来看一下就知道结论是不可能的.
如果把这个题目改成闭区间[0,2a]就可以做了:
令F(x)=f(a+x)-f(x)则F(x)在[0,2a]上连续
F(a)=f(2a)-f(a)
F(0)=f(a)-f(0)=-F(a)
由闭区间连续函数介值定理,必然存在一点,使得F(X)的值为0
即,题目所要你证明的等式.