【高考】用分析法证明:若a>0,则根号(a^2+1/a^2)-查字典问答网
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  【高考】用分析法证明:若a>0,则根号(a^2+1/a^2)-根号2≥a+(1/a)-2

  【高考】用分析法证明:若a>0,则根号(a^2+1/a^2)-根号2≥a+(1/a)-2

1回答
2019-07-22 01:35
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罗刚

  题目:【高考】用分析法证明:若a>0,则a^2+1/a^2-√2>a+1/a-2.

  证明:要证a^2+1/a^2-√2>a+1/a-2.

  只要证a^2+1/a^2+2>a+1/a+√2.也即〖(a+1/a)〗^2>a+1/a+√2

  令a+1/a=t,则不等式转化为t^2-t-√2>0,其中a+1/a=t≥2√a∙1/a=2.

  令f(t)=t^2-t-√2,(t≥2)

  配方得:f(t)=〖(t-1/2)〗^2-1/4-√2,所以二次函数的对称轴为x=1/2,所以f(t)在区间(1/2,+∞)为增函数.

  因此〖f(t)〗_min=f(2)=2-√2>0.

  所以:f(t)>0即a^2+1/a^2-√2>a+1/a-2.(得证)

2019-07-22 01:40:06

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