过点Q（-2,√21）作圆C：x^2+y^2=r^2(r>0-查字典问答网

来自霍沛军的问题

　　过点Q（-2,√21）作圆C：x^2+y^2=r^2(r>0)的切线,切点为D,且QD=4.(1)求r的值;(2)设P是圆C上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆C的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,设OM向量=OA向量+OB向量,求|OM向量|的

　　过点Q（-2,√21）作圆C：x^2+y^2=r^2(r>0)的切线,切点为D,且QD=4.

　　(1)求r的值;(2)设P是圆C上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆C的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,设OM向量=OA向量+OB向量,求|OM向量|的最小值（O为坐标原点）.

1回答

2020-11-02 18:09

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彭永进

　　第一问：

　　O为圆C的圆心,连接OQ,△OQD为直角三角形；

　　OQ=√[2^2+(√21)^2]=5

　　r=OD=√[OQ^2-QD^2]=3

　　第二问：

　　设∠POA=θ,P的坐标为(3*cosθ,3*sinθ)

　　直线l为：y-3sinθ=-ctanθ(x-3cosθ)

　　OA=3/cosθ,OB=3/sinθ;向量OA=3/cosθ,向量OB=i*3/sinθ

　　|OM|=|OA+OB|=|3/cosθ+i*3/sinθ|

　　=√[(3/cosθ)^2+(3/sinθ)^2];如果不用复数i的表示方法,可以直接用向量的三角形法则,两相互垂直的向量和的长度恰为他们的斜边长度

　　=√[(3/cosθ)^2+(3/sinθ)^2]

　　=2√3/sin(2θ)

　　>=2√3;当θ=45°

　　故最小值为2√3

2020-11-02 18:10:03