1、P是抛物线y²=4x的点则点P到直线4x+3y+15=0的距离最小值是多少?

　　设点P到直线的距离为d

　　设点P的坐标为（y²/4,y）

　　代入距离公式

　　d=｜y²+3y+15｜/√（4²+3²）=｜（y+3/2）²+51/4｜/5

　　很明显,y=-3/2时,y²+3y+15有最小值是51/4所以点P到直线的距离最小值是51/20

　　2、在直角坐标系中,抛物线y=ax²＋bx＋c与x轴交于a,b两点,（点a在点b左侧）,与y轴交于点c,点a（－3,0）点c（0,3）,且抛物线对称轴是x=－2（1）若p是线段ac上一点,设△abp,△bpc的面积分别为s△abp,s△bpc,且s△abp比s△bpc=2比3,求p坐标（2）设圆心q半径为1,圆心q在抛物线上运动,则在运动过程中手否存在圆心q与y轴相切的情况,求q的坐标

　　（1）根据题意

　　对称轴x=-2

　　那么点b的坐标是（-1,0）

　　s△abp比s△bpc=2比3

　　因为s△abp和s△bpc是不同底而等高

　　也就是说ap：pc=2：3

　　oa²+oc²=ac²

　　ac=3√2

　　oa=oc,所以角oac是45度

　　那么点p到y轴距离=ac×3/5×cos角oac=3√2×3/5×√2/2=9/5

　　点p到x轴距离=ac×2/5×sin角oac=3√2×2/5×√2/2=6/5

　　所以点p的坐标是（-9/5,6/5）

　　（2）根据题意设抛物线解析式为y=ax²+bx+3

　　将（-3,0）（-2,0）代入

　　9a-3b+3=0

　　4a-2b+3=0

　　解得

　　a=1/2,b=-5/2

　　y=1/2x²-5/2x+3

　　如果存在q点,那么也就是说点q的距离到y轴=1

　　也就是当x=1或-1的时候

　　x=-1,y=0

　　x=1,y=5

　　q（-1,0）或（1,5）

　　3、直线y=-x+6与x轴交于点A,与y轴交与点B,以线段AB为直径作圆C,抛物线y=ax的平方+bx+c过A,C,O三点.1、求点C的坐标和抛物线的解析式.2.过点B作直线与x轴交于点D,且OB的平方=OA*OD,求证DB是圆C的切线.3.抛物线上是否存在一点P,使以P,O,C,A为顶点的四边形为直角梯形,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.

　　如图

　　1、令x=0和y=0分别求出点A和B的坐标

　　点A（6,0）,B（0,6）

　　圆心C的坐标为（3,3）

　　设抛物线的方程为y=ax²+bx

　　将（3,3）和（6,0）分别代入

　　9a+3b=3

　　36a+6b=0

　　解得

　　a=-1/3,b=2

　　抛物线的解析式为y=-1/3x²+2x

　　2、设点D的坐标为（x,0）

　　｜OB｜=6,｜OD｜=｜x｜,｜OA｜=6

　　根据题意

　　36=｜x｜×6

　　x=-6或6（舍去）

　　点D的坐标为（-6,0）

　　｜AD｜=12,｜AB｜=6√2,｜BD｜=6√2

　　｜AB｜²+｜BD｜²=｜AD｜²

　　所以∠ABD=90度

　　BD是圆C的切线

　　3、存在一点P

　　｜OA｜=6,｜OC｜=3√2,｜AC｜=3√2

　　｜OC｜²+｜AC｜²=｜OA｜²

　　所以∠OCA=90度

　　过点A作OC的平行线交抛物线于点P,交y轴于点E,点P即为所求

　　由题意可知

　　BD‖OC‖AP,且C为AB中点

　　所以点O为BE中点,点E的坐标为（0,-6）

　　直线AP和直线AB垂直,所以直线AP的斜率是1

　　直线AP的方程为y=x-6

　　联立

　　y=x-6（1）

　　y=-1/3x²+2x（2）

　　（1）代入（2）

　　x-6=-1/3x²+2x

　　化简

　　x²-3x-18=0

　　（x-6）（x+3）=0

　　x=-3或x=6（舍去,此时为点A坐标）

　　x=-3时,y=-9

　　所以点P的坐标为（-3,-9）

　　4、已知点P是函数y=1/2x（x>0）图像上的一点,PA⊥x轴于点A,交函数Y=1/x(x>0)图像于点M,PB⊥y轴于点B,交函数y=1/x(x>0)于点N（点MN不重合）

　　（1）当点P的横坐标为2时,求△PMN的面积；

　　（2）证明：MN‖AB；（如图7）

　　（3）试问：△OMN能否为直角三角形?若能,请求出此时点P的坐标；若不能,请说明理由.

　　（1）点P横的坐标是2,那么纵坐标是1

　　点P（2,1）,A（2,0）,B（0,1）

　　将x=2代入y=1/x,y=1/2,那么点M的坐标（2,1/2）

　　将y=1代入y=1/x,x=1,那么点N的坐标为（1,1）

　　PM=1-1/2=1/2

　　PN=2-1=1

　　S△PMN=1/2×PM×PN=1/2×1/2×1=1/4

　　（2）

　　直线AB的斜率=（0-1）/（2-0）=-1/2

　　直线MN的斜率=（1/2-1）/（2-1）=-1/2

　　二者斜率相等

　　那么AB‖MN

　　（3）设点P的坐标为（2a,a）

　　则点M的坐标为（2a,1/2a）点N的坐标为（1/a,a）

　　直线AB的斜率是-1/2,∠MON明显不是直角

　　与直线AB垂直的直线方程是y=2x

　　y=2x

　　y=1/x

　　联立