（2012•武汉四月调考）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，-查字典问答网

来自莫宏伟的问题

　　（2012•武汉四月调考）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处．（1）如图1，若折痕AE＝55，且tan∠EFC＝34，求矩形ABCD的周长；（2）如图2，在AD边上截取DG=CF，连接GE，BD，相交于

　　（2012•武汉四月调考）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处．

　　（1）如图1，若折痕AE＝55，且tan∠EFC＝34，求矩形ABCD的周长；

　　（2）如图2，在AD边上截取DG=CF，连接GE，BD，相交于点H，求证：BD⊥GE．

1回答

2020-11-16 02:34

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庞勇强

　　（1）设EC=3k，由tan∠EFC=34，则FC=4k，EF=5k，

　　∵四边形ABCD是矩形，

　　∴AB=DC=8k，

　　∵∠AFE=∠D=90°，

　　∴∠AFB+∠EFC=90°，

　　∵∠B=90°，

　　∴∠BAF+∠AFB=90°，

　　∴∠BAF=∠EFC，

　　∴tan∠BAF=34，

　　∴BF=6k，AF=10k，

　　在RT△AFE中，AF2+EF2=AE2，AE=55，

　　∴100k2+25k2=（55）2，

　　解得：k=1，

　　∴AB=DC=8，BC=AD=AF=10，

　　所以矩形ABCD的周长为36．

　　（2）∵GD=FC，DE=EF，

　　∴cos∠EFC=FCEF=DGDE，

　　∵cos∠BAF=ABAF=ABAD，∠BAF=∠EFC，

　　∴DGDE=ABAD，

　　∴△DBA∽△EGD，

　　∴∠DBA=∠EGD，

　　∵∠DBA+∠ADB=90°，

　　∴∠DGH+∠GDH=90°，

　　∴∠GHD=90°，

　　故可得BD⊥GE．

2020-11-16 02:38:08