证明:

　　构造函数

　　f(t)=(e^t)-et.t＞0.

　　求导f'(t)=(e^t)-e.

　　[[[1]]]

　　当0＜x＜1时,

　　在区间[x,1]上,由中值定理可得

　　f(1)-f(x)=(1-x)f'(ξ),(ξ∈(x,1))

　　∵0＜x＜ξ＜1.

　　∴f'(ξ)=(e^ξ)-e＜0.

　　∴(1-x)f'(ξ)＜0

　　即f(1)-f(x)＜0

　　∴f(x)＞f(1)=0.

　　即当0＜x＜1时,恒有(e^x)-ex＞0

　　即e^x＞ex

　　[[[2]]]

　　当x=1时,显然有e^x=ex.

　　[[[3]]]

　　当x＞1时.在区间[1,x]上,由中值定理可得

　　f(x)-f(1)=(x-1)f'(ξ),(1＜ξ＜x)

　　易知,f'(ξ)=(e^ξ)-e＞0

　　∴(x-1)f'(ξ)＞0

　　∴f(x)＞f(1)=0

　　∴当x＞1时,恒有(e^x)-ex＞0

　　即e^x＞ex

　　综上可知,原不等式成立