利用恒等式(n+1)³=n³+3n²+3n+1,可以得到：

　　(n+1)³-n³=3n²+3n+1,

　　n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1

　　.

　　3³-2³=3*(2²)+3*2+1

　　2³-1³=3*(1²)+3*1+1.

　　把这n个等式两端分别相加,得：

　　(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+.+n²)+3(1+2+3+...+n)+n,

　　由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

　　代入上式得：

　　n³+3n²+3n=3(1²+2²+3²+.+n²)+3(n+1)n/2+n

　　整理后得：

　　1²+2²+3²+.+n²=n(n+1)(2n+1)/6