费尔马大定理可表述为任何一个次数大于二的方幂不能表示成两个同次方幂的正整数的和,即zn≠xn+yn.要证明费尔马大定理成立,只需证明以下四种结构形式方程伪成立：

　　(x+mn+rn)n=(x+mn)n+(x+rn)nx=mr

　　(x+mn+nn-1rn)n=(x+mn)n+(x+nn-1rn)nx=mr或x=nmr

　　(x+m4+4r4)4=(x+m4)4+(x+4r4)4x=mr或x=2mr

　　(x+m4+2r4)4=(x+m4)4+(x+2r4)4x=mr或x=2mr

　　其中x、m、r为正整数,n不作说明则为单质数,第三、四式为n=4情形.又当n=2时,有(x+m2+2r2)2=(x+m2)2+(x+2r2)2,x=2mr,是与丢番图问题相一致勾股定理公式新结构表达形式.

　　二、一般相差两种表现形式

　　展开一般相差(x+mnk)n-xn=yn,得

　　Cn0xn+Cn1xn-1(mnk)+…+Cntxn-t(mnk)t+…+Cnn-1x(mnk)n-1+Cnn(mnk)n-xn=yn

　　Cn1xn-1(mnk)+…+Cntxn-t(mnk)t+…+Cnn-1x(mnk)n-1+Cnn(mnk)n=yn

　　同上特殊相差证明得

　　Cn1xn-1(mn)+…+Cntxn-t(mn)t+…+Cnn-1x(mn)n-1+Cnn(mn)n=yn,

　　即(X+mn)n-Xn=Yn；

　　或有Cn1xn-1(mnnn-1)+…+Cntxn-t(mnnn-1)t+…+Cnn-1x(mnnn-1)n-1+Cnn(mnnn-1)n=yn

　　即(X+nn-1mn)n-Xn=Yn,

　　同理可证n等于4时一般相差为(X+m4)4-X4=Y4；(X+4m4)4-X4=Y4或(X+2m4)4-X4=Y4形式.

　　三、一般相差对称完整两种组合结构表现形式

　　一般相差两种表现形式为(X+mn)n-Xn=Yn与(X+nn-1mn)n-Xn=Yn,可概括为任意相差mn或nn-1mn两整数n次幂的差等于某个整数n次幂.考虑z与y关系即在(X+mn)n-Xn=Yn中(X+mn)与Y的关系有(X+mn)n-Yn=Xn,根据概括内容有(X+mn)-Y=rn或(X+mn)-Y=nn-1rn,得Y=(X+mn-rn)或Y=(X+mn-nn-1rn),将Y值代入方程得(X+mn)n-Xn=(X+mn-rn)n或(X+mn)n-Xn=(X+mn-nn-1rn)n形式,用(x+rn),(x+nn-1rn)代换上两方程中的X得般相差两种形式(x+mn+rn)n=(x+mn)n+(x+rn)n或(x+mn+nn-1rn)n=(x+mn)n+(x+nn-1rn)n.

　　当n=4时,(x+m4+r4)4=(x+m4)4+(x+r4)4

　　(x+m4+4r4)4=(x+m4)4+(x+4r4)4(x+m4+2r4)4=(x+m4)4+(x+2r4)4

　　另一方面可证一般相差组合(x+k1mn+k2rn)n=(x+k1mn)n+(x+k2rn)n中k1=k2,或nn-1k1=k2.

　　四、一般相差两种组合结构表现形式的内容

　　现讨论一般相差两种表现形式的内容,即x的取值.

　　对(x+mn+rn)n=(x+mn)3+(x+rn)n与(x+mn+nn-1rn)n=(x+mn)n+(x+nn-1rn)n分析,可知只需证明在(x、m、r)=1、(m、r)=1成立时情形.

　　现对一般式(x+mn+nn-1rn)n=(x+mn)n+(x+nn-1rn)n予以证明.

　　展开左式,分别消除(x+mn)n与(x+nn-1rn)n得

　　Cn0(x+mn)n+Cn1(x+mn)n-1(nn-1rn)+…+Cni(x+mn)n-i(nn-1rn)i+…+Cnn-1(x+mn)(nn-1rn)n-1+Cnn(nn-1rn)n=(x+mn)n+(x+nn-1rn)n

　　Cn1(x+mn)n-1(nn-1rn)+…Cni(x+mn)n-i(nn-1rn)i…+Cnn-1(x+mn)(nn-1rn)n-1+Cnn(nn-1rn)n=(x+nn-1rn)n

　　即(x+nn-1rn)n中必含(nr)因子,不妨令(x+nn-1rn)n=npr

　　Cn0(x+nn-1rn)n+Cn1(x+nn-1rn)n-1(mn)+…Cni(x+nn-1rn)n-i(mn)i…+Cnn-1(x+nn-1rn)

　　(mn)n-1+Cnn(mn)n=(x+mn)n+(x+nn-1rn)n

　　Cn1(x+nn-1rn)n-1(mn)+…Cni(x+nn-1rn)n-i(mn)i…+Cnn-1(x+nn-1rn)(mn)n-1+Cnn(mn)n=(x+mn)n

　　即(x+mn)中必含(m)因子,不妨令(x+mn)=qm

　　(x+nn-1rn)=npr与(x+mn)=qm相减消除x得nn-1rn-mn=npr-qm

　　nr(nn-2rn-1-p)=m(mn-1-q)

　　因m与r互素,有三种关系并得到三组p、q值

　　(nn-2rn-1-p)=0(mn-1-q)=0得p=nn-2rn-1、q=mn-1

　　r=±(mn-1-q)n(nn-2rn-1-p)=±m得np=(nn-1r±m)、q=(mn-1±r)

　　nr=±(mn-1-q)(nn-2rn-1-p)=±m得p=(nn-2rn-1±m)、q=(mn-1±nr)

　　将p=nn-2rn-1、q=mn-1代入(x+nn-1rn)=npr、(x+mn)=qm得x=0

　　将np=(nn-1r±m)、q=(mn-1±r)代入(x+nn-1rn)=npr、(x+mn)=qm

　　取正值得x=mr

　　将p=(nn-2rn-1±m)、q=(mn-1±nr)代入(x+nn-1rn)=npr、(x+mn)=qm

　　取正值得x=nmr

　　同理可得(x+mn+rn)n=(x+mn)n+(x+rn)n形式中取正值得x=mr

　　同理可得(x+m4+4r4)4=(x+m4)4+(x+4r4)4形式中取正值得

　　x=mr或x=2mr

　　同理可证(x+m4+2r4)4=(x+m4)4+(x+2r4)4形式中取正值得

　　x=mr或x=2mr

　　五、验证一般相差组合的内容

　　将x=mr代入一般式(x+mn+rn)n