1.已知△ABC中,E,F分别是AB、AC上的点,且∠EBC=∠FCB=1/2∠BAC.求证：BF=CE

　　E,F应该是边的中点吧

　　证明：∠EBC=∠FCB=1/2∠BAC=》∠EBC=∠FCB=1/2∠BAC=45度,AB=AC

　　故AF=AC/2=AB/2=AE

　　由勾股定理知

　　BF^2=AF^2+AB^2=AC^2+AE^2=CE^2

　　得BF=CE得证

　　2.已知D为△ABC的边AC上一点,E为BC的延长线上一点,DE交AB于点F,且EF/FD=AC/BC,求证：AD=EB.

　　证明：过E做AC的平行线交BA的延长线于点G

　　△ABC与△EBG相似=>AC/BC=EG/EB

　　△ADF与△EFG相似=>EF/FD=EG/AD

　　因EF/FD=AC/BC,故EG/EB=EG/AD=>AD=EB得证

　　3.O为△ABC内任一点,AO延长线交BC于点D,CO延长线交BC与点F,BO延长线交AC于点E,求证：OD/AD+OE/BE+OF/CF=1

　　证明：过O点作BA的平行线,分别交AC于K,交BC于H

　　在三角形DBA中,OH平行AB,所以：OD/AD=OH/AB

　　在三角形EBA中,OK平行AB,所以：OE/BE=OK/AB

　　在三角形CFA中,OK平行FA,所以：CO/CF=CK/CA

　　OF/CF=（CF-CO）/CF=1-CO/CF=1-CK/CA

　　OD/AD+OE/BE+OF/CF=OH/AB+OK/AB+1-CK/CA

　　=HK/AB+1-CK/CA…………（1）

　　在三角形ABC中,HK/AB=CK/CA,所以（1）式为：

　　OD/AD+OE/BE+OF/CF=HK/AB+1-CK/CA=1,获证.

　　4.△ABC中,AB＞AC,AT是∠BAC的平分线,在BC上有一点S,是BS=TC,求证：AS2-AT2=（AB-AC）2

　　证明：记AB=c,AC=b,BC=a.

　　先证明一个引理：

　　在△ABC中,AS平分∠BAC,则AB/AC=BS/CS

　　证:作SE⊥AB,交AB于E.作SF⊥AC,交AC于F.设BC边上的高为h.有：

　　S△ABS/S△ACS=(BS*h)/(CS*h)

　　S△ABS/S△ACS=(AB*SE)/(AC*SF)

　　注意到SE=SF,由以上两式,立即可得：

　　AB/AC=BS/CS.

　　现在回到原题.有BT/TC=c/b,BT+TC=a

　　于是有：TC=ab/(b+c)=BS,BT=ac/(b+c),c>b,故BT>BS,S在点T左边

　　SC=a-BS=ac/(b+c)

　　过点A做BC垂直线交BC于H,设AH=h,勾股定理可得HC=(a^2+b^2-c^2)/(2a）

　　TC-HC=（c-b）[(b+c)^2-a^2]>0,点H在T的右边

　　AS2-AT2=h^2+SH^2-h^2-TH^2=(SC-HC)^2-(TC-HC)^2=SC^2-TC^2-2HC(SC-TC)

　　=[ac/(b+c)]^2-[ab/(b+c)]^2-2[(a^2+b^2-c^2)/(2a）][(ac-ab)/(b+c)]

　　=a^2(c^2-b^2)/(b+c)^2-(a^2+b^2-c^2)(c^2-b^2)/(b+c)^2

　　=(c^2-b^2)^2/(b+c)^2=(c-b)^2=（AB-AC）2得证

　　5.D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的三等分点中靠近B、C、A的一个分点,且AD、BE、CF交成△LMN,求证S△LMN/S△ABC=1/7

　　证明：M,N,L分别为AD与BE,BE与CF,CF与AD的交点

　　连DE,有SΔDCE=2/9SΔABC(因为高为ABC高的1/3,底边为ABC底边的2/3)

　　同理SΔBDE=1/9SΔABC

　　又因为SΔABE=6/9SΔABC,故SΔBDE：SΔABE=1：6

　　过A,D做BE的垂直线交BE于GH,SΔBDE=AG*BE/2,SΔABE=DH*BE/2

　　故DH:AG=1:6

　　ΔAGM与ΔDMH相似,所以MD:MA=DH:AG=1:6

　　同理,NE：NB=1：6

　　设SΔBMD=1,

　　SΔABD:SΔBMD=MD:AD=1:7,SΔABC:SΔABD=BC:BD=3:1

　　故SΔBMA=6,SΔBDA=7,SΔABC=21

　　同理SΔBEC=7

　　所以SΔAME=SΔABC-SΔBMA-SΔBEC=8

　　所以SΔBMA:SΔAME=BM:ME=3:4

　　又因NE:EB=1:6

　　所以MN=MB=3NE,同理AL=ML=3MD

　　SΔMLN:SΔAME=3:8

　　=>SΔMLN=3=1/7SΔABC