求数列通项公式的常规思想方法列举（配典型例题）

　　数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难.而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要.本文给出了求数列通项公式的常用方法.

　　一．观察法

　　例1：根据数列的前4项,写出它的一个通项公式：

　　（1）9,99,999,9999,…

　　（2）

　　（3）

　　（4）

　　（1）变形为：101－1,102―1,103―1,104―1,……

　　∴通项公式为：

　　（2）（3）（4）.

　　观察各项的特点,关键是找出各项与项数n的关系.

　　二、定义法

　　例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列,若函数f(x)=(x－1)2,且a1=f(d－1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q－1),

　　(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

　　(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2,a3=f(d+1)=d2,

　　∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d,

　　∴d=2,∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2,b3=f(q－1)=(q－2)2,

　　∴=q2,由q∈R,且q≠1,得q=－2,

　　∴bn=b•qn－1=4•(－2)n－1

　　当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差公比.

　　三、叠加法

　　例3：已知数列6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项.

　　解易知

　　∵

　　……

　　各式相加得∴

　　一般地,对于型如类的通项公式,只要能进行求和,则宜采用此方法求解.

　　四、叠乘法

　　例4：在数列｛｝中,=1,(n+1)•=n•,求的表达式.

　　由(n+1)•=n•得,

　　=••…=所以

　　一般地,对于型如=(n)•类的通项公式,当的值可以求得时,宜采用此方法.

　　五、公式法

　　若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式

　　求解.

　　例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式,求的通项公式.

　　（1）.（2）

　　（1）

　　===3

　　此时,.∴=3为所求数列的通项公式.

　　（2）,当时

　　由于不适合于此等式.∴

　　注意要先分n=1和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一.

　　例6.设数列的首项为a1=1,前n项和Sn满足关系

　　求证：数列是等比数列.

　　解析：因为

　　所以

　　所以,数列是等比数列.

　　六、阶差法

　　例7.已知数列的前项和与的关系是

　　,其中b是与n无关的常数,且.

　　求出用n和b表示的an的关系式.

　　解析：首先由公式：得：

　　利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系,即

　　其和为.

　　七、待定系数法

　　例8：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若c1=2,c2=4,c3=7,c4=12,求通项公式cn

　　设

　　点评：用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式,一般地,若数列为等差数列：则,（b、c为常数）,若数列为等比数列,则,.

　　八、辅助数列法

　　有些数列本身并不是等差或等比数列,但可以经过适当的变形,构造出一个新的数列为等差或等比数列,从而利用这个数列求其通项公式.

　　例9.在数列中,,,,求.

　　解析：在两边减去,得

　　∴是以为首项,以为公比的等比数列,

　　∴,由累加法得

　　=

　　=…==

　　=

　　例10.（2003年全国高考题）设为常数,且（）,

　　证明：对任意n≥1,

　　证明：设,

　　用代入可得

　　∴是公比为,首项为的等比数列,

　　∴（）,

　　即：

　　型如an+1=pan+f(n)(p为常数且p≠0,p≠1)可用转化为等比数列等.

　　(1)f(n)=q(q为常数),可转化为an+1+k=p(an+k),得{an+k}是以a1+k为首项,p为公比的等比数列.

　　例11：已知数的递推关系为,且求通项.

　　∵∴

　　令

　　则辅助数列是公比为2的等比数列

　　∴即∴

　　例12：已知数列｛｝中且（）,求数列的通项公式.

　　∵

　　∴,设,则

　　故｛｝是以为首项,1为公差的等差数列

　　∴∴

　　例13.（07全国卷Ⅱ理21）设数列的首项．

　　（1）求的通项公式；

　　（1）由

　　整理得．

　　又,所以是首项为,公比为的等比数列,得

　　注：一般地,对递推关系式an+1=pan+q(p、q为常数且,p≠0,p≠1)可等价地改写成

　　则{}成等比数列,实际上,这里的是特征方程x=px+q的根.

　　(2)f(n)为等比数列,如f(n)=qn(q为常数),两边同除以qn,得,令bn=,可转化为bn+1=pbn+q的形式.

　　例14.已知数列{an}中,a1=,an+1=an+（）n+1,求an的通项公式.

　　an+1=an+（）n+1乘以2n+1得2n+1an+1=(2nan)+1令bn=2nan则bn+1=bn+1

　　易得bn=即2nan=

　　∴an=

　　(3)f(n)为等差数列

　　例15.已知已知数列{an}中,a1=1,an+1+an=3+2n,求an的通项公式.

　　∵an+1+an=3+2n,