【已知数列{an}的前N项和为Sn,a1=1.nan+1=(-查字典问答网

来自范木杰的问题

　　【已知数列{an}的前N项和为Sn,a1=1.nan+1=(n+2)Snnan+1的n+1是下角标哈.求证数列{Sn/n}为等比数列求an的通项公式及前N项和Sn】

　　已知数列{an}的前N项和为Sn,a1=1.nan+1=(n+2)Sn

　　nan+1的n+1是下角标哈.

　　求证数列{Sn/n}为等比数列

　　求an的通项公式及前N项和Sn

1回答

2020-11-17 18:42

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陈兵北

　　nan+1=(n+2)Sn,则

　　(n-1)an=(n+1)S(n-1)

　　相减,

　　nan+1/(n+2)-(n-1)an/(n+1)=an

　　即

　　nan+1/(n+2)=2nan/(n+1)

　　则,

　　an+1/an=2(n+2)/(n+1)

　　则,

　　(Sn/n)/(Sn/(n-1))=(an+1/(n+2))/(an/(n+1))

　　=(n+1)/(n+2)*2(n+2)/(n+1)

　　则{Sn/n}为等比数列

　　Sn/n=(1-2^n)/(1-2)=2^n-1

　　则,Sn=n(2^n-1)

　　则S(n-1)=(n-1)(2^(n-1)-1)

　　相减,

　　an=n(2^n-1)-（n-1)(2^(n-1)-1)

　　得

　　an=(n+1)*2^(n-1)+1

2020-11-17 18:43:19