【定义在正整数集上的函数f(x)满足f(1)=2011且f(-查字典问答网

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　　【定义在正整数集上的函数f(x)满足f(1)=2011且f(1)+f(2)+……+f(n)=n平方f(n)（n大于等于1）求f(2011)=】

　　定义在正整数集上的函数f(x)满足f(1)=2011且f(1)+f(2)+……+f(n)=n平方f(n)（n大于等于1）求f(2011)=

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2020-11-18 15:36

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林春梅

　　由f(1)+f(2)+……+f(n-1)+f(n)=n^2×f(n)

　　故f(1)+f(2)+……+f(n-1)=(n-1)^2×f(n-1)

　　两式相减可得

　　f(n)=n^2×f(n)-(n-1)^2×f(n-1)

　　即(n^2-1)×f(n)=(n-1)^2×f(n-1)

　　所以f(n)=(n-1)^2×f(n-1)/(n^2-1)

　　=f(n-1)(n-1)/(n+1)

　　故递推得

　　f(2011)=f(2010)×2010/2012

　　=f(2009)×(2010×2009)/(2012×2011)

　　……

　　=f(1)×(2010×2009×2008……×3×2×1)/(2012×2011×2010×……×5×4×3)

　　=f(1)×2/(2012×2011)

　　=2011×2/(2012×2011)

　　=1/1006

2020-11-18 15:38:40

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