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来自米浦波的问题

  【高二数学已知AB是椭圆x²/a²+y²/b²=1﹙a>b>0﹚长轴的两个端点,请详细解释:已知AB是椭圆x²/a²+y²/b²=1﹙a>b>0﹚长轴的两个端点,如果椭圆上存在一点】

  高二数学已知AB是椭圆x²/a²+y²/b²=1﹙a>b>0﹚长轴的两个端点,

  请详细解释:

  已知AB是椭圆x²/a²+y²/b²=1﹙a>b>0﹚长轴的两个端点,如果椭圆上存在一点Q,使∠AQB=120°求椭圆离心率的取值范围?

5回答
2019-08-25 19:43
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石嘉鹏

  ∵当Q在Y轴上时∠AQB最大

  ∴Q在Y轴上时∠AQB≥120°,则∠OQA≥60°

  ∠OQA=60°时,b/a=1/√3,

  c²=a²-b²=a²-a²/3=a²(2/3)

  ∴e²=2/3,e=√6/3

  要使∠OQA>60°,a不变,b要变小,c就增大

  ∴√6/3≤e<1

  貌似得证明Q在Y轴上时∠AQB最大

  设:QA=a,QB=b,AB=c(c为常数),∠AQB=θ

  由余弦定理得

  cosθ=(a^2+b^2-c^2)/2ab

  当a=b时,分母取得最大值(2ab≤a^2+b^2),分子取得最小值(a^2+b^2-c^2≥2ab-c^2)

  即a=b时,cosθ最小,cosθ在(0<θ<π)是减函数,所以cosθ最小时,θ最大

2019-08-25 19:48:29
米浦波

  怎样证明在y轴上时角度最大呢?

2019-08-25 19:49:36
石嘉鹏

  已经回答了,余弦定理a=b就是在y轴的时候

2019-08-25 19:52:33
米浦波

  但是我用余弦定理没证出来,我提问主要是想看一下用余弦定理的证明过程,麻烦证一下吧。

2019-08-25 19:56:07
石嘉鹏

  当a=b时,分母取得最大值a^2+b^2(2ab≤a^2+b^2),分子取得最小值2ab-c^2(a^2+b^2-c^2≥2ab-c^2)此时c^2是常数a=b时cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=2ab-c^2/a^2+b^2分子最小,分母最大,cosC的值就是最小呀

2019-08-25 19:58:20

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