一道高二数学题目给出定点A(a,0)和直线x=-1,B是直线x=-1上的动点,角BOA的角平分线,交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a的值的关系.
一道高二数学题目
给出定点A(a,0)和直线x=-1,B是直线x=-1上的动点,角BOA的角平分线,交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a的值的关系.
设C(x,y),B(-1,b),则由RT△∽RT△,得
y/b=(a-x)/(1+a)
b=(1+a)y/(a-x)
k(OB)=-(1+a)y/(a-x),k(OC)=y/x,k(OA)=0
OC是BOA的角平分线
[k(OB)-k(OC)]/[1+k(OB)*k(OC)]=[kOC)-k(OA)]/[1+k(OC)*k(OA)]
[-(1+a)y/(a-x)-y/x]/[1-(y/x)*(1+a)y/(a-x)]=y/x
y≠0
[-(1+a)/(a-x)-1/x]/[1-(y/x)*(1+a)y/(a-x)]=1/x
[-(1+a)x-(a-x)]/[x(a-x)-(1+a)y^2]=1/x
点C的轨迹方程：(1-a)x^2-2ax+(1+a)y^2=0
讨论
a=1,点C的轨迹方程是抛物线：x=y^2
a=-1,点C的轨迹方程是两条直线：x=0,x=-1
a≠1,-1
(1-a)x^2-2ax+(1+a)y^2=0
点C的轨迹方程是椭圆：
[x-a/(1-a)]^2/[a/(1-a)]^2+y^2/{[(1-a)/(1+a)]*[a/(1-a)]^2}=1
注：y=0,没有什么意义,应该不是本题的题意.