如图所示．△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BD-查字典问答网

来自霍东民的问题

　　如图所示．△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN，求△AMN的周长．

1回答

2020-11-20 22:17

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曲寒冰

　　令CP=BM，交AC延长线于P，连接DP．

　　∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°

　　∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°

　　又∵△ABC等边三角形

　　∴∠ABC=∠ACB=60°

　　∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°

　　同理可得∠NCD=90°

　　∴∠PCD=∠NCD=∠MBD=90°

　　又∵CP=BM，

　　∴△BDM≌△CDP

　　∴MD=PD

　　∠MDB=∠PDC

　　∵∠MDN=60°

　　∴∠MDB+∠NDC=∠PDC+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°即∠MDN=∠PDN=60°

　　∴△NMD≌△NPD（SAS）

　　∴MN=PN=NC+CP=NC+BM

　　∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2

　　故△AMN的周长为2．

2020-11-20 22:21:41