高二数学不等式的一题证明题已知abc是不全相等的正数,求证:-查字典问答网
分类选择

来自司虎的问题

  高二数学不等式的一题证明题已知abc是不全相等的正数,求证:2(a^3+b^3+c^3)>a^2(a+b)+b^2(a+c)+c^2(a+b)注:a^3是a的3次方的意思,其他同理题目错了点改下:a^2(a+b)中的a+b是b+c

  高二数学不等式的一题证明题

  已知abc是不全相等的正数,求证:

  2(a^3+b^3+c^3)>a^2(a+b)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

  注:a^3是a的3次方的意思,其他同理

  题目错了点改下:a^2(a+b)中的a+b是b+c

1回答
2019-08-26 00:52
我要回答
请先登录
金炜东

  即2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)

  因为a^3+b^3==(a+b)(a^2-ab+b^2)

  又a^2+b^2≥2ab

  所以a^3+b^3≥ab(a+b)

  a^3+c^3≥ac(a+c)

  b^3+c^3≥bc(b+c)

  所以2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)成立

  方法二:

  a^3+a^3+b^3>=3a^2b

  a^3+a^3+c^3>=3a^2c

  b^3+b^3+a^3>=3b^2a

  b^3+b^3+c^3>=3b^2c

  c^3+c^3+a^3>=3c^2a

  c^3+c^3+b^3>=3c^2b

  各式相加得到

  6(a^3+b^3+c^3)>=3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)

  所以2(a^3+b^3+c^3)>=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b

  =a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

  方法三:

  2(a^3+b^3+c^3)-[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]

  =a^2(a-b)+a^2(a-c)+b^2(b-c)+b^2(b-a)+c^2(c-a)+c^2(c-b)

  =(a^2-b^2)(a-b)+(c^2-a^2)(c-a)+(b^2-c^2)(b-c)

  =(a+b)(a-b)^2+(c+a)(c-a)^2+(b+c)(b-c)^2≥0

  =>:2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

2019-08-26 00:54:43

最新问答

推荐文章

猜你喜欢

附近的人在看

推荐阅读

拓展阅读

  • 大家都在看
  • 小编推荐
  • 猜你喜欢
  •