（1）根据“共相似点”的定义得：等边三角形不存在共相似点．

　　故答案为：不存在；

　　（2）△ABC是直角三角形，理由如下：

　　根据题意得：△ABP∽△ACB，

　　∴∠ABP=∠C，

　　同理得：∠CBP=∠A，

　　∴∠ABC=∠A+∠C=180°-∠ABC，

　　解得：∠ABC=90°，

　　∴△ABC是直角三角形；

　　（3）根据题意得：△PBC∽△CAB，

　　∴∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，

　　∵BE平分∠ABC，

　　∴∠ABE=∠PBC，

　　∴∠A=∠ABE=∠PBC，

　　∴∠PCB=∠ABC=2∠A=2∠PBC，

　　∵∠BCE=∠ACB，∠PBC=∠A，

　　∴△BEC∽△ABC，

　　∴点E是△ABC的边共相似点；

　　∵CD是△ABC的高，

　　∴∠CDB=90°，

　　∴∠PCB+∠ABC=90°，

　　∴2∠A+2∠A=90°，

　　解得：∠A=22.5°；

　　（4）作CP⊥AB于P，则P为△ABC的“共相似点”；

　　过B作BC的垂线与CP的延长线的交点是△ABC的“共相似点”；

　　作∠ABC的平分线与AC的交点P1是△ABC的“共相似点”；

　　过C作BP1的垂线，垂足是△ABC的“共相似点”；

　　同理：以上四个△ABC的“共相似点”关于直线BC的对称点是△ABC的“共相似点”；

　　∴△ABC的“共相似点”共有8个，如图所示：

　　根据等边三角形的性质和直角三角形的性质得：顺次连接所有满足条件的P点而围成的多边形的周长为2×2+4×12