高二数学圆锥曲线问题已知a大于0,过M(a,0)任作一条直线-查字典问答网
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  高二数学圆锥曲线问题已知a大于0,过M(a,0)任作一条直线交抛物线y=2px(p大于0)于P,Q两点,若1/MP²+1/MQ²为定值,则a=A.pB.2pC.根号2乘以pD.p/2我看过一个用参数方程的答案.看不懂.那里设

  高二数学圆锥曲线问题

  已知a大于0,过M(a,0)任作一条直线交抛物线y=2px(p大于0)于P,Q两点,若1/MP²+1/MQ²为定值,则a=

  A.p

  B.2p

  C.根号2乘以p

  D.p/2

  我看过一个用参数方程的答案.看不懂.那里设直线PQ的t参数方程为x=a+tcosα,y=tsinα.为什么要这么设?如果也是回答用参数方程的,能回答的详细点吗?用其他通俗的方法也行,只要详细就好.

1回答
2019-08-27 12:39
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龙颂潜

  设直线PQ的t参数方程为x=a+tcosα,y=tsinα,

  (α为直线PQ的倾斜角,t为直线上的点到点M的距离.

  这么设是为了减少后面的运算量,

  这是解决这类问题最简单的方法,最好能掌握)

  P,Q的坐标分别为:(a+t1cosα,t1sinα),(a+t2cosα,t2sinα),

  MP^2=t1^2*(cosa)^2+t1^2*(sina)^2=t1^2,

  MQ^2=t2^2*(cosa)^2+t2^2*(sina)^2=t2^2.

  又P,Q在抛物线:y^2=2px,

  将x=a+tcosα,y=tsinα代入y^2=2px,得:

  (tsina)^2=2p*(a+tcosa),

  (sina)^2*t^2-2pcosa*t-2pa=0,所以

  t1+t2=2pcosa/(sina)^2,t1t2=-2pa/(sina)^2,

  t1^2+t2^2=(t1+t2)^2-2t1t2=4[p^2*(cosa)^2+pa*(sina)^2]/(sina)^4,

  又1/MP^2+1/MQ^2=1/t1^2+1/t2^2=(t1^2+t2^2)/(t1t2)^2

  =[p^2*(cosa)^2+pa*(sina)^2]/(pa)^2=[p*(cosa)^2+a*(sina)^2]/p*a^2,

  为定值,

  所以p=a.

2019-08-27 12:43:36

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