高二数学,关于动点的问题高手请教一下已知定点P(1,1),椭圆3x^2+4y^2-12=0上两动点A(x1,y1),B(x2,y2),且KPA*KPB=-3/4若点M(x,y)是线段AB的中点,求动点M的轨迹方程,请尽量详细点谢谢~..
高二数学,关于动点的问题高手请教一下
已知定点P(1,1),椭圆3x^2+4y^2-12=0上两动点A(x1,y1),B(x2,y2),且KPA*KPB=-3/4
若点M(x,y)是线段AB的中点,求动点M的轨迹方程,请尽量详细点谢谢~..
KPA=(y1-1)/(x1-1),KPB=(y2-1)/(x2-1)
而：KPA*KPB=-3/4
所以：[(y1-1)/(x1-1)]*[(y2-1)/(x2-1)]=-3/4
3x1x2+4y1y2=3(x1+x2)+4(y1+y2)-7------(1)
而：3x1^2+4y1^2-12=0
3x2^2+4y2^2-12=0
两式相加得：
3(x1^2+x2^2)+4(y1^2+y2^2)-24=0
3[(x1+x2)^2-2x1x2]+4[(y1+y2)^2-2y1y2]-24=0
3x1x2+4y1y2=(3/2)(x1+x2)^2+2(y1+y2)^2-12
结合(1)式得：
3(x1+x2)+4(y1+y2)-7=(3/2)(x1+x2)^2+2(y1+y2)^2-12
(3/2)(x1+x2)^2+2(y1+y2)^2-3(x1+x2)-4(y1+y2)-5=0
而M(x,y)是线段AB的中点,所以：x1+x2=2x,y1+y2=2y
所以：6x^2+8y^2-6x-8y-5=0
6(x-(1/2))^2+8(y-(1/2))^2=17/2
(x-(1/2))^2/(17/12)+(y-(1/2))^2/(17/16)=1
此即动点M的轨迹方程,为椭圆