来自庞智勤的问题
已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
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2020-11-29 07:29
已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明:先证必要性:
∵a+b=1,∴b=1-a
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2
=0
再证充分性:
∵a3+b3+ab-a2-b2=0
∴(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0
即:(a2-ab+b2)(a+b-1)=0
∵ab≠0,a2-ab+b2=(a-12b)