充分性：

　　已知acos²(C/2)+ccos²(A/2)=(3/2)b

　　sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

　　由正弦定理得b=acosC+ccosA

　　a[(1+cosC)/2]+c[(1+cosA)/2]=(3/2)b

　　a+acosC+c+ccosA=3b

　　a+c+acosC+ccosA=3b

　　a+c+b=3b

　　a+c=2b

　　a,b,c成等差数列

　　必要性：

　　已知a,b,c成等差数列,即a+c=2b

　　sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

　　由正弦定理得b=acosC+ccosA

　　a+b+c=3b

　　a+c+acosC+ccosA=3b

　　a(1+cosC)+c(1+cosA)=3b

　　2a·cos²(C/2)+2c·cos²(A/2)=3b

　　acos²(C/2)+ccos²(A/2)=(3/2)b

　　综上,得a,b,c成等差数列的充要条件是acos²(C/2)+ccos²(A/2)=(3/2)b