已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，-查字典问答网

来自蒋玉杰的问题

　　已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D（-m，-m）为AC上的点（m＞0）

　　（1）试分别求出A，B，C三点的坐标；

　　（2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？请说明理由；

　　（3）若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且∠PQA=60°，当Q在第四象限内运动时，下列说法：

　　（i）∠APQ+∠PBQ的度数和不变；

　　（ii）∠BAP+∠BQP的度数和不变，其中有且只有一个说法是正确的，请判断正确的说法，并求这个不变的值．

1回答

2020-12-02 20:27

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陈宇拓

　　（1）∵OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°，

　　∴∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=45°，

　　∴∠ACB=90°，

　　又△ABC的面积为9，

　　∴OA=OC=OB=3，

　　∴A（-3，0），B（3，0），C（0，-3）；

　　（2）当t=3秒时，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．

　　理由如下：连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，

　　∵D（-m，-m），

　　∴DM=DN=OM=ON=m，

　　∴∠DOM=∠DON=45°，而∠ACO=45°，

　　∴DC=DO，

　　∴∠PCD=∠BOD=135°，又CP=OC=OB，

　　∴△PCD≌△BOD（SAS），

　　∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，

　　∴∠BDP=∠ODC=90°，

　　即DP⊥DB．

　　（3）（i）正确．在QA上截取QS=QP，连接PS．

　　∵∠PQA=60°，

　　∴△QSP是等边三角形，

　　∴PS=PQ，∠SPQ=60°，

　　∵PO是AB的垂直平分线，

　　∴PA=PB而PA=AB，

　　∴PA=PB=AB，

　　∴∠APB=60°，

　　∴∠APS=∠BPQ，

　　∴△APS≌△BPQ，

　　∴∠PAS=∠PBQ，

　　∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS=120°．

2020-12-02 20:30:24