证明：如图，先证明A、M、R、N四点共圆，

　　∵△ABC为锐角三角形，∴点M、N分别在线段AB、AC内，

　　在射线AR上取一点R1，使A、M、R1、N四点共圆，

　　∵AR1平分∠BAC，∴R1M=R1N，

　　∵OM=ON，R1M=R1N，∴R1在∠MON的平分线上，

　　∵AB≠AC，∴∠MON的平分线与∠BAC的平分线不重合、不平行，有惟一交点R，

　　∴R1=R，即A、M、R、N四点共圆．

　　其次，设AR的延长线交BC于点K，则K在边BC上，

　　∵B、C、N、M四点共圆，∴∠MBC=∠ANM，

　　∵A、M、R、N四点共圆，∴∠MBK=∠MRA，

　　∴B、M、R、K四点共圆，

　　同理，C、N、R、K四点共圆．

　　故△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在BC上．