【一题高一数学复合函数题.(求解题思路和依据)若函数f[g(x)]=6x+3,且g(x)=2x+1,则f(x)等于?有两种方法:①f[g(x)]=6x+3=3(2x+1)=3g(x)故f(x)=3x②令g(x)=2x+1=u,那么x=(u-1)/2把它们带入f[g(x)]=6x+3得f(u)=6*(u-1)/2+3=3u】
一题高一数学复合函数题.(求解题思路和依据)
若函数f[g(x)]=6x+3,且g(x)=2x+1,则f(x)等于?有两种方法:①f[g(x)]=6x+3=3(2x+1)=3g(x)故f(x)=3x②令g(x)=2x+1=u,那么x=(u-1)/2把它们带入f[g(x)]=6x+3得f(u)=6*(u-1)/2+3=3u,把u换成x,即f(x)=3x请问:这两种解题方法的思路和依据是什么?特别是第二种想不通,为啥u就是x呢?u不是等于2x+1么?请您解惑,
1、第一种方法是拼凑,注意到6x+3=2(2x+1),而2x+1恰是g(x).这是比较简单的,能一眼看出这种关系.对稍微复杂些的题,不能直接看出前后联系的,这种方法就失效了.因此只能算是投机取巧了.
2、第二种方法是变量代换,目的跟第一种方法一样（第一种是直接看出前后的联系,第二种是假设没有直接看出它们的联系,这在实际问题中是最常见的）都是为了寻求f(x)与x的关系.但这种方法是普遍的,朴素的,也是通用的,是解决这类问题的有效方法.
3、对于最后u变成x的问题,此时不把u看作是前面的2x+1,而是把它看作是单独的一个量,代表任意实数,而x也可以代表任意实数,况且函数自变量通常都用x表示,所以就把u换成了x.这不是等量代换,而是字母代换.（f(u)=3u与f(x)=3x、f(s)=3s等都是同一函数）.
您的回答很精彩,还有个疑问,这样:f(2x+1)=6x+3,按我对函数的理解右边的x应该看成一个函数即2x+1,就是说右边的x也是2x+1,但实际上左右的x是一样的,比如,x=2时,左边,2*2+1=5,自变量应该是5,那么右边的x也应该是5,即函数值为6*5+3=33,未完,见评论
在同一个式了中，x的值是一样的。f(2x+1)中x=2，后面6x+3中的x也是2，不是5。在f(2x+1)=6x+3中，取x=2得到的是f(2*2+1)=6*2+3，也就是f(5)=15。那个6*5+3=33是取x=5得到的，写出来是f(2*5+1)=6*5+3，也就是f(11)=33。