【在△ABC中，∠ACB=45°．点D（与点B、C不重合）为-查字典问答网

来自陆尚卿的问题

　　【在△ABC中，∠ACB=45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关】

　　在△ABC中，∠ACB=45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

　　（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．

　　（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？

　　（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC=4

　　2，BC=3，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）

1回答

2020-12-05 04:39

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杜会森

　　（1）CF与BD位置关系是垂直；

　　证明如下：

　　∵AB=AC，∠ACB=45°，

　　∴∠ABC=45°．

　　由正方形ADEF得AD=AF，

　　∵∠DAF=∠BAC=90°，

　　∴∠DAB=∠FAC，

　　∴△DAB≌△FAC（SAS），

　　∴∠ACF=∠ABD．

　　∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．

　　即CF⊥BD．

　　（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．

　　理由是：

　　过点A作GA⊥AC交BC于点G，

　　∵∠ACB=45°，

　　∴∠AGD=45°，

　　∴AC=AG，

　　同理可证：△GAD≌△CAF

　　∴∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

　　即CF⊥BD．

　　（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，

　　①点D在线段BC上运动时，

　　∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．

　　∴DQ=4-x，△AQD∽△DCP，

　　∴CPDQ＝CDAQ

2020-12-05 04:42:15