高一数学题（集合）对任意x,y∈S,若x+y∈S,x-y∈S-查字典问答网

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　　高一数学题（集合）对任意x,y∈S,若x+y∈S,x-y∈S,则称S对加减封闭,S为R的真子集证明：若S1,S2为R的两个真子集,且对加减封闭,则必存在c∈R,使得c∉S1∪S2.求详细解答

　　高一数学题（集合）

　　对任意x,y∈S,若x+y∈S,x-y∈S,则称S对加减封闭,S为R的真子集

　　证明：若S1,S2为R的两个真子集,且对加减封闭,则必存在c∈R,使得c∉S1∪S2.

　　求详细解答

1回答

2019-09-10 20:59

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刘翠翠

　　证明：(1)若对任意x∈S1都有x∈S2,即S1包含于S2,那么S1∪S2=S2为R的真子集,故必存在c∈R使c∉S1∪S2

　　(2)若S2包含于S1,同理可证存在c∈R使c∉S1∪S2

　　(3)若上述两种情况都不成立,即存在x∈S1使x∉S2,且存在y∈S2使y∉S1,那么考虑x+y∈R,若它属于S1,则应有y=(x+y)-x属于S1,矛盾!因此它不属于S1.同理它不属于S2,因此x+y∉S1∪S2,得证.

2019-09-10 21:03:14