正四棱锥有8条棱,棱长为a,底边是正方形,侧面是正三角形.

　　如果有一个外接球,那么它的球心到正四棱锥5个顶点的距离一定相等,且都是r.

　　可想而知,这个球心在正四棱锥底面的投影一定是在正方形的中心,(因为要对称).

　　话分两头说,这个中心和顶点的连线恰是正四棱锥的高h,而且,所谓的球心也一定在这条高上.那个中心(正方形底面的中心)到底面4个顶点的距离均是(√2)a/2,棱长为a,那么和高h组成的直角三角形,可以算出高h=√{a²-[(√2)a/2]²}=√(a²/2)=(√2)a/2.

　　现在,球心到顶点的距离是r,在刚才的解析的那个直角三角形中,球心把高h那条直角边分成两份,球心到底面的距离l=h-r=(√2)a/2-r,球心、正四棱锥底面的顶点以及底面的中心组成的三角形,斜边长为r(球心到四棱锥底面顶点的距离),直角边分别为(√2)a/2和l=(√2)a/2-r,勾股定理有：

　　r²=[(√2)a/2]²+[(√2)a/2-r]²

　　r²=a²/2+a²/2-(√2)ar+r²

　　a²-(√2)ar=0

　　a≠0,∴a-(√2)r=0,r=(√2)a/2(这个结果说明正四棱锥外接圆的球心就是底面的中心.)

　　现在a=6,即r=3根号2