定义

　　紧集是拓扑空间内的一类特殊点集,它们的任何开覆盖都有有限子覆盖.在度量空间内,紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合：

　　任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该集合（自列紧集）

　　具备Bolzano-Weierstrass性质

　　完备且完全有界

　　性质

　　紧集具有以下性质：

　　紧集必然是有界的闭集,但反之不一定成立.

　　紧集在连续函数下的像仍是紧集.

　　豪斯多夫空间的紧子集是闭集.

　　实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素.

　　Heine-Borel定理:在Rn内,一个集合是紧集当且仅当它是闭集并且有界.

　　定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值.

　　定义在紧集上的连续实值函数一致连续.

　　直观理解

　　从某种意义上,紧集类似于有限集.举最简单的例子而言,在度量空间中,所有的有限集都有最大与最小元素.一般而言,无限集可能不存在最大或最小元素（比如R中的(0,1)）,但R中的非空紧子集都有最大和最小元素.在很多情况下,对有限集成立的证明可以扩展到紧集.一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数一致连续.

　　类似概念

　　自列紧集：每个有界序列都有收敛的子序列.

　　可数紧集：每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖.

　　伪紧：所有的实值连续函数都是有界的.

　　弱可数紧致：每个无穷子集都有极限点.

　　在度量空间中,以上概念均等价于紧集.

　　以下概念通常弱于紧集：

　　相对紧致：如果一个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的,则称Y是相对紧致于X.

　　准紧集：若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列,则称Y是X中的准紧集.

　　局部紧致空间：如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基,则称这个空间是局部紧致空间.