1题

　　证明:用反证法,设这6个数分别为2a+1;2b+1;2c+1;2d+1;2e+1;2f+1,其中,a,b,c,d,e,f为互不相等的自然数,满足下式:

　　(2a+1)²+(2b+1)²+(2c+1)²+(2d+1)²+(2e+1)²=(2f+1)²

　　展开并整理后得:

　　4(a²+b²+c²+d²+e²)+4(a+b+c+d+e)+4=4f²+4f

　　a²+b²+c²+d²+e²+a+b+c+d+e+1=f²+f

　　上式可化为:

　　a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)+d(d+1)+e(e+1)+1=f(f+1)

　　因不论a为奇数还是偶数,a(a+1)必为偶数,同理,b(b+1),…,f(f+1)为偶数.

　　于是,式子

　　a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)+d(d+1)+e(e+1)+1=f(f+1)

　　等号左边为奇数,等号右边为偶数,矛盾.故此题得证.

　　2题

　　将原线段的两端涂上红色,各分点涂红色或蓝色以后,沿各分点剪断成长度为1的线段,则各分点涂的红色或蓝色点都为原来的2倍.

　　于是,必有长度为1的线段两端红色点数量总和为偶数,蓝色点数量总和也为偶数.

　　今用反证法,设长度是1且两端异色的线段有m条,m为奇数

　　则m条线段两端的红点和蓝点都为m.

　　剩下的n-m条线段两端同色,即剩下的n-m条线段两端蓝点和红点都为偶数.

　　因m为奇数,于是总的红色点数量为：偶+奇＝奇；总的蓝色点数量也为：偶+奇＝奇

　　与红色点数量总和为偶数,蓝色点数量总和也为偶数相矛盾.

　　故两端异色的线段数量必为偶数.