中国剩余定理

　　民间传说着一则故事——“韩信点兵”.

　　秦朝末年,楚汉相争.一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战.苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人,于是韩信整顿兵马也返回大本营.当行至一山坡,忽有后军来报,说有楚军骑兵追来.只见远方尘土飞扬,杀声震天.汉军本来已十分疲惫,这时队伍大哗.韩信兵马到坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌.他命令士兵3人一排,结果多出2名；接着命令士兵5人一排,结果多出3名；他又命令士兵7人一排,结果又多出2名.韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士,敌人不足五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人.汉军本来就信服自己的统帅,这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”.于是士气大振.一时间旌旗摇动,鼓声喧天,汉军步步进逼,楚军乱作一团.交战不久,楚军大败而逃.

　　首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加3,得9948（人）.

　　在一千多年前的《孙子算经》中,有这样一道算术题：

　　“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”按照今天的话来说：一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数.

　　这样的问题,也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题,也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”,这是由中国人首先提出的.

　　①有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?

　　除以3余2的数有：

　　2,5,8,11,14,17,20,23….

　　它们除以12的余数是：

　　2,5,8,11,2,5,8,11,….

　　除以4余1的数有：

　　1,5,9,13,17,21,25,29,….

　　它们除以12的余数是：

　　1,5,9,1,5,9,….

　　一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中,只有5是共同的,因此这个数除以12的余数是5.

　　如果我们把①的问题改变一下,不求被12除的余数,而是求这个数.很明显,满足条件的数是很多的,它是5＋12×整数,

　　整数可以取0,1,2,…,无穷无尽.事实上,我们首先找出5后,注意到12是3与4的最小公倍数,再加上12的整数倍,就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2,除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件,我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并,就可找到答案.

　　②一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数.

　　先列出除以3余2的数：

　　2,5,8,11,14,17,20,23,26,…,

　　再列出除以5余3的数：

　　3,8,13,18,23,28,….

　　这两列数中,首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数,列出这一串数是8,23,38,…,再列出除以7余2的数2,9,16,23,30,…,

　　就得出符合题目条件的最小数是23.

　　事实上,我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.

　　那么韩信点的兵在1000-1500之间,应该是105×10+23=1073人

　　中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?」

　　答曰：「二十三」

　　术曰：「三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得.凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得.」

　　孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理.中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位.

　　韩信被贬淮阴侯时高祖找他聊天高祖说：韩信你说寡人我能带多少兵.韩信说：10万绝对不能超过10万.高祖又说：你呢.韩信说：韩信点兵多多益善.高祖说：那你不是比我还厉害吗,那你为什么会被寡人抓到呢.韩信说：皇上您是将之将我是兵之将当然不如陛下您.